Feladat: 766. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Békési Csilla ,  Bulkay L. ,  Fiala István ,  Gerencsér László ,  Greguss Pál ,  Harkányi Gábor ,  Kohut J. ,  Lőrincz Cs. ,  Lukács Lídia ,  Major P. ,  Mészáros György ,  Nagy István ,  Stiga Katalin ,  Szentai Judit ,  Szepesvári Gy. ,  Szidarovszky Klára ,  Tamás Endre 
Füzet: 1963/február, 66. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Középpontos tükrözés, Paralelogrammák, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1962/április: 766. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Képzeljük megoldottnak a feladatot, legyen a keresett négyszög ABCD, amelyben az AC és BD átló, az AB és CD oldal hossza rendre egyenlő az előre adott e, f, a, ill. c szakasszal, továbbá a BC oldal E és a DA oldal F felezőpontjának EF távolsága egyenlő az adott g szakasszal.

 
 

Tükrözzük a négyszöget az E pontra. Így B és C egymásba mennek át, A, D és F tükörképe pedig legyen rendre A', D', F'. Az ADA'D' négyszög paralelogramma, mert átlói felezik egymást. Ezért az AFF'D' négyszög szemben fekvő F'D' és FA oldalai párhuzamosak, másrészt egyenlők is, mert a tükrözés, ill. a felezés miatt egyenlők FD-vel, tehát AFF'D' paralelogramma. Ennélfogva AD'=FF'=2FE=2g. Mivel továbbá a tükrözés miatt BD'=CD=c és D'C=DB=f, azért az AD'B és az AD'C háromszög mindhárom oldala ismert, közös AD' oldaluk helyzetének megválasztása után megszerkeszthetők. A még hiányzó D csúcsot akár D'-nek BC felezőpontjára való tükrözésével, akár a BD'C háromszögnek BD'CD paralelogrammává való kiegészítésével megkaphatjuk.
A szerkeszthetőség feltétele, hogy a 2g, a, c és 2g, e, f szakaszhármasok teljesítsék a háromszög-egyenlőtlenséget. Ha mindkét feltétel teljesül, akkor D is szerkeszthető.
Az AD'B és AD'C háromszögek közül az elsőnek megszerkesztendőre ‐ pl. AD'B-re ‐ elég egy megoldást tekintetbe vennünk. A második háromszög harmadik csúcsát azonban ‐ a példát folytatva C-t ‐ már AD'-nek mindkét partján figyelembe kell vennünk. Így a megoldások száma 2, ugyanis D szerkesztése ismét egyértelmű.
 
 Greguss Pál (Budapest, Fazekas M. gyak. g., II. o. t.)
 

Megjegyzés. Többen 4-ben, sőt 8-ban állapították meg a megoldások számát abból, hogy D-t a BC alapra az f és c oldalakból ‐ a BC-nek D'-vel ellentétes partján ‐ 2-féleképpen szerkesztették. Ezzel azonban az f és c szakaszok átló, ill. oldal szerepét felcserélték. A B-re az AD' mindkét partján adódó lehetőséget figyelembe véve az előbbiektől csak körüljárási irányban különböző (azaz tükrösen egybevágó) megoldásokat kapunk.