|
Feladat: |
766. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Békési Csilla , Bulkay L. , Fiala István , Gerencsér László , Greguss Pál , Harkányi Gábor , Kohut J. , Lőrincz Cs. , Lukács Lídia , Major P. , Mészáros György , Nagy István , Stiga Katalin , Szentai Judit , Szepesvári Gy. , Szidarovszky Klára , Tamás Endre |
Füzet: |
1963/február,
66. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Középpontos tükrözés, Paralelogrammák, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1962/április: 766. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Képzeljük megoldottnak a feladatot, legyen a keresett négyszög , amelyben az és átló, az és oldal hossza rendre egyenlő az előre adott , , , ill. szakasszal, továbbá a oldal és a oldal felezőpontjának távolsága egyenlő az adott szakasszal.
Tükrözzük a négyszöget az pontra. Így és egymásba mennek át, , és tükörképe pedig legyen rendre , , . Az négyszög paralelogramma, mert átlói felezik egymást. Ezért az négyszög szemben fekvő és oldalai párhuzamosak, másrészt egyenlők is, mert a tükrözés, ill. a felezés miatt egyenlők -vel, tehát paralelogramma. Ennélfogva . Mivel továbbá a tükrözés miatt és , azért az és az háromszög mindhárom oldala ismert, közös oldaluk helyzetének megválasztása után megszerkeszthetők. A még hiányzó csúcsot akár -nek felezőpontjára való tükrözésével, akár a háromszögnek paralelogrammává való kiegészítésével megkaphatjuk. A szerkeszthetőség feltétele, hogy a , , és , , szakaszhármasok teljesítsék a háromszög-egyenlőtlenséget. Ha mindkét feltétel teljesül, akkor is szerkeszthető. Az és háromszögek közül az elsőnek megszerkesztendőre ‐ pl. -re ‐ elég egy megoldást tekintetbe vennünk. A második háromszög harmadik csúcsát azonban ‐ a példát folytatva -t ‐ már -nek mindkét partján figyelembe kell vennünk. Így a megoldások száma 2, ugyanis szerkesztése ismét egyértelmű.
Greguss Pál (Budapest, Fazekas M. gyak. g., II. o. t.) Megjegyzés. Többen 4-ben, sőt 8-ban állapították meg a megoldások számát abból, hogy -t a C alapra az és oldalakból ‐ a -nek -vel ellentétes partján ‐ 2-féleképpen szerkesztették. Ezzel azonban az és szakaszok átló, ill. oldal szerepét felcserélték. A -re az mindkét partján adódó lehetőséget figyelembe véve az előbbiektől csak körüljárási irányban különböző (azaz tükrösen egybevágó) megoldásokat kapunk. |
|