Kezdőlap


Feladat:	765. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Csörnyei Zoltán
Füzet:	1963/február, 65. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/április: 765. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bevezetve a

\begin{matrix} \sqrt[]{x^{2} + 11} = u, \sqrt[]{y^{2} + 21} = v, \sqrt[]{z^{2} - 33} = w \end{matrix}

jelöléseket, egyenletrendszerünk a következő alakot ölti:

\begin{matrix} u^{2} v = 180, v^{2} w = 100, w^{2} u = 96. \end{matrix}

Fejezzük ki az első egyenletből

v

-t, helyettesítsük ezt a másodikba, majd fejezzük ki onnét

w

-t és helyettesítsük a harmadik egyenletbe:

\begin{matrix} \frac{1}{v} = \frac{u^{2}}{180}, w = \frac{100}{v^{2}} = \frac{100 u^{4}}{180^{2}} = \frac{u^{4}}{18^{2}}, \frac{u^{9}}{18^{4}} = 96. \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} u = \sqrt[9]{96 \cdot 18^{4}} = \sqrt[9]{2^{9} \cdot 3^{9}} = 2 \cdot 3 = 6, \end{matrix}

és folytatólag

v = 5

w = 4

. Végül az eredeti ismeretlenek:

\begin{matrix} x = \pm \sqrt[]{u^{2} - 11} = \pm 5, y = \pm \sqrt[]{v^{2} - 21} = \pm 2, z = \pm \sqrt[]{w^{2} + 33} = \pm 7. \end{matrix}

x

y

z

előjele egymástól független, ezért az előjelek variálásával 8 megoldást kapunk:

\begin{matrix} x, y, z = & + 5, + 2, + 7; & + 5, + 2, - 7; & + 5, - 2, + 7; & + 5, - 2, - 7, \\ - 5, + 2, + 7; & - 5, + 2, - 7; & - 5, - 2, + 7; & - 5, - 2, - 7. \end{matrix}

Csörnyei Zoltán (Veszprém, Lovassy L. g. II. o. t.)

Megjegyzés. Számos I. osztályos versenyző nem vette figyelembe a négyzetgyökvonás kétértékűségét és csak a fenti első megoldást adta meg.