Kezdőlap


Feladat:	764. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kohut József
Füzet:	1963/január, 26 - 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Tizes alapú számrendszer, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/április: 764. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az $N$ hívószám jegyei $x$ , $y$ , $z$ . Gábor emlékezete szerint

\begin{matrix} 100 x + 10 y & + z = 13 n és & (1) \\ x & + z = 2 y, & (2) \end{matrix}

ahol

n

egész szám. (2)-ből

z

-t (1)-be helyettesítve

99 x + 12 y = 13 n

. A bal oldal így írható:

\begin{matrix} 99 x + 12 y = 104 x + 13 y - 5 x - y = 13 (8 x + y) - 5 x - y . \end{matrix}

Ezt beírva és

5 x + y

-t kifejezve

\begin{matrix} 5 x + y = 13 (8 x + y - n) = 13 t, \end{matrix}

(3)

ahol

t

egész szám. (3) bal oldala nem lehet nagyobb, mint ha

x

és

y

helyébe is 9-et írunk, így

13 t \leq 5 \cdot 9 + 9 = 54

, tehát csak

t = 0, 1, 2, 3, 4

lehetséges. Kifejezve (3)-ból

y

-t, majd (2)-ből

z

-t:

y = 13 t - 5 x

z = 26 t - 11 x

. Mivel

z

számjegy, így

t = 0

1

2

3

4

-re

x

csak rendre

0

2

4

7

9

lehet, így a következő lehetőségek adódnak:

\begin{matrix} t = 0, x = 0, y = 0, z = 0, N_{0} = 000; \\ t = 1, x = 2, y = 3, z = 4, N_{1} = 234 (= 13 \cdot 18); \\ t = 2, x = 4, y = 6, z = 8, N_{2} = 468 (= 2 N_{1}); \\ t = 3, x = 7, y = 4, z = 1, N_{3} = 741 (= 13 \cdot 57); \\ t = 4, x = 9, y = 7, z = 5, N_{4} = 975 (= 13 \cdot 75) . \end{matrix}

A csupa 0-ból álló hívószámot figyelmen kívül hagyhatjuk, mert ha esetleg ki is adta a telefonközpont előfizetőnek (általában belső használatra szokta fenntartani), akkor sem valószínű, hogy éppen 13-mal való oszthatóságát jegyezte volna meg Gábor; így négy hívószámot kell legfeljebb végigpróbálnia.

Kohut József (Budapest, Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., II. o. t.)