Kezdőlap


Feladat:	763. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hoffer Anna , Szidarovszky Klára
Füzet:	1963/január, 25 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Teljes indukció módszere, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/április: 763. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Minden tényező két négyzet különbsége, és így két további tényező szorzatára bontható. Vegyük ki minden tényezőből az alapok különbségét és tekintsük ezek szorzatát:

\begin{matrix} (1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{3}) (1 - \frac{1}{4}) ... (1 - \frac{1}{n}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} ... \frac{n - 1}{n} = \frac{1}{n} . \end{matrix}

Hasonlóan az alapok összegeinek szorzatára

\begin{matrix} (1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{3}) (1 + \frac{1}{4}) ... (1 + \frac{1}{n}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot ... \frac{n + 1}{n} = \frac{n + 1}{2} . \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} K = \frac{1}{2} \cdot \frac{n + 1}{2} = \frac{n + 1}{2 n} . \end{matrix}

Páratlan

n

esetén ez még 2-vel egyszerűsíthető, páros

n

-re viszont már nem egyszerűsíthető, mert

n

és

n - 1

szomszédos természetes számok és így relatív primek.

Hoffer Anna (Budapest, Hámán K. lg. I. o. t.)

II. megoldás. Kipróbálva

n

első néhány értékét, könnyen észrevehetjük, hogy ezekre a következő összefüggés érvényes:

\begin{matrix} K = K_{n} = \frac{n + 1}{2 n} . \end{matrix}

A teljes indukció módszerével bebizonyítjuk, hogy ez minden további

n

-re is érvényes. Valóban, ha

n

-re helyes az összefüggés, akkor

\begin{matrix} K_{n + 1} = K_{n} (1 - \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}) = \frac{n + 1}{2 n} \cdot \frac{{(n + 1)}^{2} - 1^{2}}{{(n + 1)}^{2}} = \\ = \frac{(n + 1) n (n + 2)}{2 n {(n + 1)}^{2}} = \frac{n + 2}{2 (n + 1)}, \end{matrix}

vagyis a sejtett szabályszerűség

n

-ről átöröklődik a következő természetes számra. Így, mivel a szabályszerűség

n = 2

esetében érvényes, minden a 2-nél nagyobb természetes számra is érvényes.

Szidarovszky Klára (Budapest, Ságvári E. lg. I. o. t.)

Megjegyzés. Tulajdonképpen az I. megoldásban is teljes indukciót alkalmaztunk, de a bizonyítást mellőzhettük, a két rész-sorozatban annyira nyilvánvaló volt az egyszerűsítés lehetősége és eredménye.