|
Feladat: |
762. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Antal Magdolna , Bálint L. , Bálint László , Békési Csilla , Berendi Emma , Boldizsár F. , Bulkai L. , Ferenczi György , Fiala I. , Fiantók T. , Földes Antónia , Gazsó János , Gecsey L. , Gerencsér L. , Greguss P. , Hirka A. , Körner János , Laufer Judit , Lehel Cs. , Lőrincz Csaba , Lukács Lídia , Major P. , Mátrai M. , Mayer J. , Mocskonyi Zs. , Móri A. , Müller Gy. , Nagy Klára , Radó I. , Raisz P. , Ruda M. , Simonovits András , Soós A. , Strommer R. , Szentai Judit , Tamás E. , Tamás G. , Tihanyi László , Tóth János |
Füzet: |
1963/február,
62 - 65. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Algebrai átalakítások, Periodikus sorozatok, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1962/április: 762. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A esetben képletünk így alakul: és 4-re
Eszerint az 5. tag egyenlő az elsővel. És mivel képletünk szerint minden tag csak a megelőzőtől függ, azért , , , és így tovább, tehát a sorozat tagjai négyesével periodikusan ismétlődnek. Nem választhatjuk -et úgy, hogy , , vagy nevezője 0 legyen, tehát , 0, ; minden más értékkel számsorozatunknak akárhány tagja képezhető. A továbbiakban olyan , , , értékrendszert keresünk, amellyel a sorozatnak csak 3 különböző tagja van. Ezek csak , , lehetnek, azt kell elérnünk, hogy legyen, mert így a fentiek szerint az , , egyenlőségek is biztosítva vannak. Az (1) képlettel
Vezessük be átmenetileg a következő jelöléseket: | | Így számításainkat egyszerűbben folytathatjuk:
Tetszés szerint választott mellett biztosan fennáll, ha az utolsó alak nevezőjében nem lép fel , a számlálóban nem lép fel -től mentes tag, végül -nek a számlálóbeli együtthatója egyenlő a nevezőbeli második taggal, azaz ha | | (2) |
Itt mindent az eredeti együtthatókkal kifejezve, 0-ra redukálva és észrevéve, hogy :
illetőleg kiemeléssel A (3)‐(5) követelmények nyilvánvalóan teljesülnek, ha egyidejűleg , és , azaz . Ekkor azonban, ha még is áll, (1) szerint , a sorozat minden tagja egyenlő. Ezt az érdektelen esetet mellőzhetjük. Ha a , , tényezők közt van 0-tól különböző, akkor (3), (4), (5) mindegyike csak úgy állhat fenn, ha és ekkor valóban mindegyik teljesül. Itt , , , közül bármelyik hármat tetszés szerint megválasztva a negyediket kiszámíthatjuk.
Pl. I. -gyel ; II. -gyel ; III. IV. , , -vel .
Az I ‐ III. példákban a sorozat első három tagja
általában különböző, a IV-ben azonban -re jutunk, vagyis a sorozat tagjainak értéke -től kezdve állandó, függetlenül -től.
Lőrincz Csaba (Orosháza, Táncsics M. g. II. o. t.)
Megjegyzések. 1. Egyszerű feltételt kapunk az együtthatók között azt keresve, mikor áll be a IV. példában látott eset, mikor válik állandóvá a sorozat. Alakítsuk (1)-et így: | | tehát a sorozat az első tagtól függetlenül -vel egyenlő a második tagtól kezdve, ha . A IV. példában ilyen értékrendszert találtunk. 2. Az (1a) felhasználásával általában | |
|
|