Kezdőlap


Feladat:	762. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal Magdolna , Bálint L. , Bálint László , Békési Csilla , Berendi Emma , Boldizsár F. , Bulkai L. , Ferenczi György , Fiala I. , Fiantók T. , Földes Antónia , Gazsó János , Gecsey L. , Gerencsér L. , Greguss P. , Hirka A. , Körner János , Laufer Judit , Lehel Cs. , Lőrincz Csaba , Lukács Lídia , Major P. , Mátrai M. , Mayer J. , Mocskonyi Zs. , Móri A. , Müller Gy. , Nagy Klára , Radó I. , Raisz P. , Ruda M. , Simonovits András , Soós A. , Strommer R. , Szentai Judit , Tamás E. , Tamás G. , Tihanyi László , Tóth János
Füzet:	1963/február, 62 - 65. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Periodikus sorozatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/április: 762. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $c = - d = e = f = 1$ esetben képletünk így alakul:

\begin{matrix} a_{k + 1} = \frac{a_{k} - 1}{a_{k} + 1} . \end{matrix}

(1a)

k = 1,2,3

és 4-re

\begin{matrix} a_{2} = \frac{a_{1} - 1}{a_{1} + 1}, a_{3} = \frac{a_{2} - 1}{a_{2} + 1} = \frac{\frac{a_{1} - 1}{a_{1} + 1} - 1}{\frac{a_{1} - 1}{a_{1} + 1} + 1} = - \frac{1}{a_{1}}, \\ a_{4} = \frac{a_{3} - 1}{a_{3} + 1} = \frac{- \frac{1}{a_{1}} - 1}{- \frac{1}{a_{1}} + 1} = - \frac{a_{1} + 1}{a_{1} - 1} és \\ a_{5} = \frac{a_{4} - 1}{a_{4} + 1} = \frac{- \frac{a_{1} + 1}{a_{1} - 1} - 1}{- \frac{a_{1} + 1}{a_{1} - 1} + 1} = a_{1} . \end{matrix}

Eszerint az 5. tag egyenlő az elsővel. És mivel képletünk szerint minden tag csak a megelőzőtől függ, azért

a_{6} = a_{2}

a_{7} = a_{3}

a_{8} = a_{4}

a_{9} = a_{5} = a_{1}

és így tovább, tehát a sorozat tagjai négyesével periodikusan ismétlődnek.
Nem választhatjuk

a_{1}

-et úgy, hogy

a_{2}

a_{3}

, vagy

a_{4}

nevezője 0 legyen, tehát

a \neq - 1

, 0,

+ 1

; minden más értékkel számsorozatunknak akárhány tagja képezhető.
A továbbiakban olyan

c

d

e

f

értékrendszert keresünk, amellyel a sorozatnak csak 3 különböző tagja van. Ezek csak

a_{1}

a_{2}

a_{3}

lehetnek, azt kell elérnünk, hogy

a_{4} = a_{1}

legyen, mert így a fentiek szerint az

a_{5} = a_{2}

a_{6} = a_{3}

a_{7} = a_{4} = a_{1}, ...

egyenlőségek is biztosítva vannak. Az (1) képlettel

\begin{matrix} a_{2} = \frac{c a_{1} + d}{e a_{1} + f}, \\ a_{3} = \frac{c \frac{c a_{1} + d}{e a_{1} + f} + d}{e \frac{c a_{1} + d}{e a_{1} + f} + f} = \frac{(c^{2} + d e) a_{1} + d (c + f)}{e (c + f) a_{1} + (d e + f^{2})} . \end{matrix}

Vezessük be átmenetileg a következő jelöléseket:

\begin{matrix} c^{2} + d e = C, d (c + f) = D, e (c + f) = E, d e + f^{2} = F . \end{matrix}

Így számításainkat egyszerűbben folytathatjuk:

\begin{matrix} a_{3} = \frac{C a_{1} + D}{E a_{1} + F} és \\ a_{4} = \frac{c \frac{C a_{1} + D}{E a_{1} + F} + d}{e \frac{C a_{1} + D}{E a_{1} + F} + f} = \frac{(c C + d E) a_{1} + (c D + d F)}{(e C + f E) a_{1} + (e D + f F)} . \end{matrix}

Tetszés szerint választott

a_{1}

mellett

a_{4} = a_{1}

biztosan fennáll, ha az utolsó alak nevezőjében nem lép fel

a_{1}

, a számlálóban nem lép fel

a_{1}

-től mentes tag, végül

a_{1}

-nek a számlálóbeli együtthatója egyenlő a nevezőbeli második taggal, azaz ha

\begin{matrix} e C + f E = 0, c D + d F = 0, c C + d E = e D + f F . \end{matrix}

(2)

Itt mindent az eredeti együtthatókkal kifejezve, 0-ra redukálva és észrevéve, hogy

d E = e D

\begin{matrix} e (c^{2} + d e) + e f (c + f) = e (c^{2} + c f + d e + f^{2}) = 0, & (3) \\ c d (c + f) + d (d e + f^{2}) = d (c^{2} + c f + d e + f^{2}) = 0, & (4) \\ c C - f F = 0, azaz c^{3} + c d e - d e f - f^{3} = 0, \end{matrix}

illetőleg kiemeléssel

\begin{matrix} (c - f) (c^{2} + c f + f^{2} + d e) = 0. \end{matrix}

(5)

A (3)‐(5) követelmények nyilvánvalóan teljesülnek, ha egyidejűleg

d = 0

e = 0

és

c - f = 0

, azaz

c = f

. Ekkor azonban, ha még

c \neq 0

is áll, (1) szerint

a_{k + 1} = a_{k}

, a sorozat minden tagja egyenlő. Ezt az érdektelen esetet mellőzhetjük. Ha a

d

e

c - f

tényezők közt van 0-tól különböző, akkor (3), (4), (5) mindegyike csak úgy állhat fenn, ha

\begin{matrix} c^{2} + c f + f^{2} + d e = 0, \end{matrix}

(6)

és ekkor valóban mindegyik teljesül. Itt

c

d

e

f

közül bármelyik hármat tetszés szerint megválasztva a negyediket kiszámíthatjuk.

Pl. I.

c = d = f = 1

-gyel

e = - 3

;
II.

c = e = f = 1

-gyel

d = - 3

;
III. IV.

d = - 1

e = 4

f = 2

-vel

c_{1} = 0

c_{2} = - 2

Az I ‐ III. példákban a sorozat első három tagja

\begin{matrix} a_{1}, \frac{a_{1} + 1}{1 - 3 a_{1}}, \frac{a_{1} - 1}{3 a_{1} + 1}, (és a_{4} = a_{1}); \\ b_{1}, \frac{b_{1} - 3}{b_{1} + 1}, \frac{b_{1} + 3}{1 - b_{1}}, (és b_{4} = b_{1}); \\ g_{1}, \frac{- 1}{4 g_{1} + 2}, - \frac{2 g_{1} + 1}{4 g_{1}}, (és g_{4} = g_{1}), \end{matrix}

általában különböző, a IV-ben azonban

\begin{matrix} a_{k + 1} = \frac{- 2 a_{k} - 1}{4 a_{k} + 2} = - \frac{1}{2} \end{matrix}

-re jutunk, vagyis a sorozat tagjainak értéke

a_{2}

-től kezdve állandó, függetlenül

a_{1}

-től.

Lőrincz Csaba (Orosháza, Táncsics M. g. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. Egyszerű feltételt kapunk az együtthatók között azt keresve, mikor áll be a IV. példában látott eset, mikor válik állandóvá a sorozat. Alakítsuk (1)-et így:

\begin{matrix} a_{k + 1} = \frac{c a_{k} + d}{e a_{k} + f} = \frac{\frac{c}{e} (e a_{k} + f) - \frac{c f}{e} + d}{e a_{k} + f} = \frac{c}{e} + \frac{d e - c f}{e (e a_{k} + f)}, \end{matrix}

tehát a sorozat az első tagtól függetlenül

c / e

-vel egyenlő a második tagtól kezdve, ha

d e - c f = 0

. A IV. példában ilyen értékrendszert találtunk.
2. Az (1a) felhasználásával általában

\begin{matrix} a_{k + 2} = \frac{a_{k + 1} - 1}{a_{k + 1} + 1} = - \frac{1}{a_{k}}, és  így a_{k + 4} = - \frac{1}{a_{k + 2}} = a_{k} . \end{matrix}