Kezdőlap


Feladat:	760. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Buócz Enikő , Deák László , Huhn András , Parai Adrienne , Reményi Katalin , Zichy László
Füzet:	1963/február, 58 - 59. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Körérintési szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/március: 760. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megoldásban a következő jelöléseket használjuk: az adott kör $k$ , a keresett kör $k_{1}$ , középpontjuk $O$ , ill. $C$ , sugaruk $R$ , ill. $r$ , érintkezési pontjuk $T$ , az adott pont $A$ , az $O A$ szakasz $c$ , az $O A$ egyenes $d$ és az erre $A$ -ban állított merőleges $m$ . Feltesszük, hogy $A$ nem azonos $O$ -val, enélkül $d$ határozatlan. $k_{1}$ -et $d$ -nek mindig csak az egyik partján szerkesztjük meg, a másik parton levő megoldás tükrözéssel adódik.

1. ábra

I. megoldás. Az

O A C

derékszögű háromszögben ismerjük

O A

-t, mely a derékszög mellett fekszik, és a másik két oldal

A C + C O = T C + C O = T O = R

összegét. Eszerint

C

megszerkesztése a 751. gyakorlat ¹ speciális esete, amikor

α = 90^{\circ}

. Az ottani I. megoldás szerint

m

-re

A

-ból rámérve az

A B = R

távolságot,

C

-t

m

-ből az

O B

szakasz

f

felező merőlegese² metszi ki (1. ábra).
A 751. gyakorlatra hivatkozva szerkesztésünk helyességének bizonyítását és a diszkussziót mellőzhetjük. Mindig 1 megoldás van (

d

megválasztott partján), mert

A

belső pont, és így

c < R

Zichy László (Esztergom, Temesvári Pelbárt g. I. o. t.)

Megjegyzések. 1.

B

megszerkesztése után

T

-t is megkaphatjuk, mint a

B

-ből

k

-hoz húzott érintő érintési pontját, és ekkor

C

-t

m

és a

T O

sugár metszéspontja adja. Ugyanis

T B C Δ ≃ A O C Δ

, mert

C

-nél levő szögeik csúcsszögek és

C

-ből kiinduló oldalaik páronként egyenlők, ezért

O T B ∢ = C T B ∢ = C A O ∢ = 90^{\circ}

, tehát

T B

k

érintője.

Huhn András (Szeged, Ságvári E. gyak. g. I. o. t.)

f

megszerkesztéséhez

O

és

B

körül egyenlő sugarú köríveket kell rajzolnunk. Az első gyanánt célszerű magát

k

-t venni, ezért

B

körül is

R

sugárral rajzoljuk a

k'

ívet². Ebből új magyarázatát adhatjuk a már kész szerkesztésnek. Ugyanis

k'

A

-ban érinti

k_{1}

-et, ezért a feladatot így fogalmazhatjuk át: szerkesztendő olyan kör, mely érinti az egyenlő sugarú

k

és

k'

köröket (mindkettőt belülről), és középpontja

m

-en van. A szimmetria miatt e kör középpontja csak

k

és

k'

közös

f

szimmetriatengelyén lehet.

Reményi Katalin (Budapest XI., Szamuely T. ált. isk. VI. o. t.)

2. ábra

II. megoldás. Két kör ‐ ha egy síkban vannak ‐ mindig hasonló helyzetben van.

k

és

k_{1}

belső érintkezése miatt a külső hasonlósági pontjuk éppen

T

. Ha tehát megrajzoljuk

k

-nak azt az

O D

sugarát (2. ábra), amely párhuzamos és egyirányú

k_{1}

-nek

C A

sugarával, akkor a

D A

egyenes

k

-ből kimetszi

T

-t. Az ehhez szükséges

D

pont a

d

-re merőleges átmérőnek az a végpontja, amely

d

-nek

C

-vel ellentétes partján van.

Deák László (Győr, Révai M. g. II. o. t.)

Megjegyzés. Hasonlítsuk össze ezt a megoldást a 623. gyakorlat³ II. megoldásával.
III. megoldás. Megszerkesztjük

r

-et. Az

O A C

háromszögből

\begin{matrix} c^{2} + r^{2} = {(R - r)}^{2}, r = \frac{R^{2} - c^{2}}{2 R} = \frac{R}{2} - \frac{c^{2}}{2 R} . \end{matrix}

c^{2} / 2 R

szakaszt mindjárt megfelelő helyzetben úgy kapjuk, ha vesszük

O

tükörképét az előbbi

D

pontra ‐ legyen ez

E

‐, majd az

E A

-ra

A

-ban állított merőleges

F

metszéspontját

O D

-n. Ekkor az

E A F

derékszögű háromszögből

O F = O A^{2} / O E = c^{2} / 2 R

. Ezért ‐ az

O A

-ra merőleges átmérő másik végpontját

G

-vel és

O G

felezőpontját

H

-val jelölve

\begin{matrix} F H = O H - O F = \frac{R}{2} - \frac{c^{2}}{2 R} = r, \end{matrix}

tehát

C

-t

m

-ből a

H

-n átmenő,

A F

-fel párhuzamos

h

egyenessel metszhetjük ki. A szerkesztés végrehajtásában

F

-et nélkülözhetjük:

h

H

-n átmenő és

A E

-re merőleges egyenes.

A számítás Parai Adrienne (Miskolc, XII. sz. ált. isk. VIII. o. t.) dolgozatából

IV. megoldás. Messe

T O

k_{1}

-et másodszor

J

-ben, ekkor

\begin{matrix} O J \cdot O T = O A^{2} -ből O J = R - 2 r = c^{2} / R . \end{matrix}

Legyen

m

és

k

egyik metszéspontja

L

, továbbá

A

vetülete

O L

-re

M

L M

felező pontja

N

. Ekkor az

A O L

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} c^{2} = O A^{2} = O M \cdot O L = O M \cdot R, így \\ O M = c^{2} / R = O J, O N = O C, \end{matrix}

tehát

C

-t

m

-ből az

O

körül

O N

sugárral írt kör metszi ki.

Buócz Enikő (Miskolc, Kilián Gy. g. II. o. t.)

¹Lásd K. M. L. 25 (1962/11) 149. o.

²Az 1. ábrán $f$ és $k'$ pótlandó.

³K. L. M. 22 (1961/1) 17. o.