Kezdőlap


Feladat:	757. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hanák Péter , Krámli György
Füzet:	1962/december, 220 - 221. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Gyakorlat, Nevezetes azonosságok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/március: 757. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. $1962 = 6 \cdot 327$ , ezért az adott számkifejezés így írható:

\begin{matrix} {(6)}^{327} - 1^{327} + 2. \end{matrix}

Az első két tag osztható az alapok különbségével, ami viszont a következő módon alakítható át:

\begin{matrix} 6^{6} - 1 = {(6^{3})}^{2} - 1 = (6^{3} - 1) (6^{3} + 1) = 215 \cdot 217 = 215 \cdot 7 \cdot 31, \end{matrix}

vagyis osztható

31

-gyel. Eszerint az adott kifejezés nem osztható

31

-gyel. Ezenfelül még azt is kaptuk, hogy az osztásban

2

lép fel maradék gyanánt.

Krámli György (Szeged, Déri M. gépip. t. I. o. t.)

II. megoldás.

1962 = 2 \cdot 981

, ezért

\begin{matrix} 6^{1962} = {(6^{2})}^{981} = 36^{981} = {(31 + 5)}^{981} . \end{matrix}

Az utolsó alakbeli kéttagú hatványát kifejtve minden tagban szerepel

31

valamely pozitív egész kitevős hatványa, csak az utolsóban,

5^{981}

-ben nem. Ezért

5^{981} + 1

-et

31

-gyel osztva a maradék ugyanaz, mint amikor az eredeti számot osztjuk.
Hasonlóan továbbmenve,

981 = 3 \cdot 327

figyelembevételével

\begin{matrix} 5^{981} = {(5^{3})}^{327} = 125^{327} = {(124 + 1)}^{327} = {(4 \cdot 31 + 1)}^{327}, \end{matrix}

így az előbbi meggondolást megismételve látjuk, hogy az

5^{981} : 31

osztás maradéka ugyanannyi, mintha

1^{327}

-et osztanók, vagyis

1

. Eszerint a

(6^{1962} + 1) : 31

osztás maradéka

2

Hanák Péter (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)