Feladat: 756. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Folly Gábor 
Füzet: 1963/január, 24 - 25. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1962/március: 756. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tegyük fel, hogy egyik nevező sem 0 és jelöljük a négy hányados közös értékét k-val. Ekkor

a+b3a-b=k-bólb=a3k-1k+1=aj,aholj=3k-1k+1.
Ugyanígy a további hányadosokból külön-külön c=bj, d=cj, a=dj. Ezekből kiküszöböléssel a=dj=cj2=bj3=aj4, tehát a(j4-1)=0. Itt nem lehet a=0, mert abból b=c=d=0 adódnék, és egyik hányadosnak sem volna értelme. Ezért j4-1=0, amiből, csak valós számokra szorítkozva, j=±1.
Mármost j=+1-gyel a=b=c=d≠0, és így (2) bal és jobb oldalának értéke egyaránt 4a2, az egyenlőség fennáll (az (1)-beli hányadosok értéke ugyancsak 1). Ellenben j=-1-gyel b=d=-a és c=a, így (2) bal oldala ismét 4a2(>0), jobb oldala pedig 0, tehát a kérdéses egyenlőség nem áll fenn. Ekkor az (1)-beli hányadosok értéke 0.
Eszerint az állítás az adott alakban nem helyes, de helyessé lesz pl. a következő módosított alakban: ,,ha
a+b3a-b=b+c3b-c=c+d3c-d=d+a3d-a≠0,akkora2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+da.''



 Folly Gábor (Budapest, Piarista g. II. o. t.)
 
II. megoldás. A feltevés a négy változó között három összefüggést ad meg, ez módot nyújt közülük három kiküszöbölésére és a vizsgálandó két kifejezésnek csak egy-egy változóval való kifejezésére. Az a=b=c=d=0 esetet kizárva az első két hányados egyenlőségéből b2=ac, az elsőből és a harmadikból ab=cd. Ezekhez hasonlóan még a következő egyszerű összefüggéseket kapjuk: c2=bd, bc=ad, d2=ac, a2=bd.
Ezeket egybevetve egyrészt c2=a2, d2=b2. Innen c=ε1a és d=ε2b, ahol ε1 és ε2 a ±1 értékeket veheti fel. Így azonban ab=cd=ε1ε2ab, azért ε1ε2=1, tehát ε2=ε1. Másrészt b2=ac=ε1a2, ezért csak ε1=+1 lehet, különben nem lehetne a, b mindegyike valós.
Mostmár c=a, d=b és b2=a2-ből b=±a. A b=+a(=c=d) esetben (2) mindkét oldala 4a2; a b=-a esetben viszont a jobb oldal 0, a bal pedig ismét 4a2(>0), az egyenlőség nem áll fenn. Ezek szerint az állítás általában nem érvényes.