Kezdőlap


Feladat:	753. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagy Péter Tibor
Füzet:	1962/november, 150 - 151. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Gördülés (Mozgási geometria), Gyakorlat, Egyéb sokszögek geometriája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/január: 753. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a keret egymás utáni szögpontjai $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , $...$ , $A_{s}$ , az oldalak hossza $c$ , a lemez helyzete az induláskor: $A_{1}$ $A_{2}$ $B_{1}$ , a gördülés azon fázisaiban pedig, amikor egy‐egy oldalra támaszkodik: $A_{2} A_{3} B_{2}$ , $A_{3} A_{4} B_{3}$ , $A_{4} A_{5} B_{4}$ és az első megálláskor $A_{5} A_{6} B_{5}$ . Az $A_{2}$ körüli elfordulás közben a lemez $A_{2}$ -től legtávolabbi pontjai, a csúcsok, a $c$ sugarú $A_{1} B_{2}$ , $B_{1} A_{3}$ köríveket írják le és az egész lemez az $A_{2}$ középpontú, $c$ sugarú körből a rövidebb $A_{1} A_{3}$ ívhez tartozó körcikket súrolja. A további elfordulások közben súrolt területeket az $A_{3}$ , $A_{4}$ , $A_{5}$ körüli $A_{2} A_{4}$ , $A_{3} A_{5}$ , $A_{4} A_{6}$ ívek határolják. Ezek a megelőző határvonalat sorra $B_{2}$ , $B_{3}$ , $B_{4}$ -ben metszik.

A nyolcszög egy szöge

135^{\circ}

, ezért a háromszöglemez két szomszédos keretoldalra támaszkodó helyzetének szomszédos szárai közti szög

135^{\circ} - 2 \cdot 60^{\circ} = 15^{\circ}

-os. Az

A_{5} A_{6}

oldal eléréséig súrolt

t_{1}

terület felbontható négy

15^{\circ}

-os nyílású körcikkre, a mozgás elejéhez és végéhez tartozó

A_{1} A_{2} B_{1}

és

A_{6} A_{5} B_{5}

60^{\circ}

nyílású körcikkekre és 3 szabályos háromszögre, ennélfogva

\begin{matrix} t_{1} = \frac{c^{2} π}{360^{\circ}} (4 \cdot 15^{\circ} + 2 \cdot 60^{\circ}) + 3 \frac{c^{2} \sqrt[]{3}}{4} = \frac{c^{2}}{4} (2 π + 3 \sqrt[]{3}) \approx c^{2} \cdot 2, 870. \end{matrix}

Az indulási helyzetig való gördítés esetén elmarad a kezdeti

A_{1} A_{2} B_{1}

körcikkből az

A_{1} B_{1}

húron kívül levő körszelet, mert ezt az

A_{1}

körüli, utolsó elfordulás közben is súrolja a lemez, az összes súrolt terület 8 háromszög és 8 kis körcikk:

\begin{matrix} t_{2} = \frac{8 c^{2} \sqrt[]{3}}{4} + 8 \frac{c^{2} π}{360^{\circ}} \cdot 15^{\circ} = \frac{c^{2}}{3} (π + 6 \sqrt[]{3}) \approx c^{2} \cdot 4, 511. \end{matrix}

Nagy Péter Tibor (Kiskunhalas, Szilády Á. g. II. o. t.)