Kezdőlap


Feladat:	752. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Molnár László
Füzet:	1962/november, 149 - 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Derékszögű háromszögek geometriája, Súlyvonal, Gyakorlat, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/január: 752. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy a háromszögnek több súlyvonalát kell kiszámítanunk, célszerű általános képletet levezetnünk, pl. az $a$ oldal felezőpontjából kiinduló $s_{a}$ súlyvonalnak $a$ , $b$ , $c$ -vel való kifejezésére. Betűzzük az oldalakat úgy, hogy $b ≦ c$ álljon, legyen az $a$ oldalhoz tartozó magasság $m$ , továbbá $b$ és $c$ -nek $a$ -n levő vetülete $x$ , ill. $a - x$ (előjellel értve, tehát ha $m$ talppontja nem az $a$ szakaszon van, akkor $x < 0$ ). Így $x < a / 2 < a - x$ , továbbá

\begin{matrix} m^{2} = c^{2} - {(a - x)}^{2} = b^{2} - x^{2}, amiből \\ x = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a}, ennélfogva \\ s_{a}^{2} = m^{2} + {(\frac{a}{2} - x)}^{2} = b^{2} + \frac{a^{2}}{4} - a x = \frac{1}{4} (4 b^{2} + a^{2} - 2 a^{2} - 2 b^{2} + 2 c^{2}) = \\ = \frac{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}{4} . \end{matrix}

Az eredmény

b

és

c

-ben szimmetrikus, tehát

b

és

c

feltett nagyságviszonyától függetlenül érvényes. Az

a

b

c

betűk ciklikus cseréjével

\begin{matrix} s_{b}^{2} = \frac{2 c^{2} + 2 a^{2} - b^{2}}{4}, \\ s_{c}^{2} = \frac{2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}}{4} . \end{matrix}

Most már

a = 8

b = 9

c = 11

-gyel

4 s_{a}^{2} = 340

4 s_{b}^{2} = 289

4 s_{c}^{2} = 169

, tehát

s_{b} = 17 / 2

és

s_{c} = 13 / 2

valóban racionálisak,

s_{a}

viszont irracionális.

Molnár László (Budapest, I. István g. II. o. t.)