Kezdőlap


Feladat:	748. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Gangli Péter , Márki László
Füzet:	1962/november, 145. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/január: 748. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Kézenfekvő a (nagy) számlálók mindegyikében fellépő hányados helyett új ismeretlent vezetni be. Legyen

\begin{matrix} \frac{5 - 4 x}{5 + 4 x} = y, így \frac{5 + 4 x}{5 - 4 x} = \frac{1}{y}, és \\ \frac{y + 3}{3 + \frac{1}{y}} - \frac{y + 2}{2 + \frac{1}{y}} = \frac{y + 1}{1 + \frac{1}{y}}, & (1a) \end{matrix}

ahonnan a szokásos rendezési lépésekkel

\begin{matrix} 7 y^{2} + 5 y = y (7 y + 5) = 0. \end{matrix}

(2)

Közben feltettük, hogy a törtek eltávolítása során használt szorzók:

y

3 y + 1

2 y + 1

y + 1

egyike sem 0, vagyis

y \neq 0

- 1 / 3

- 1 / 2

- 1

.
Eszerint (2) csak úgy teljesülhet, ha

\begin{matrix} 7 y + 5 = 0, y = - 5 / 7, \end{matrix}

ami nem kizárt érték. Most már

\begin{matrix} \frac{5 - 4 x}{5 + 4 x} = - \frac{5}{7} -ből x = 15 / 2 = 7, 5. \end{matrix}

Ezzel (1) bal és jobb oldalának értéke egyaránt

- 5 / 7

, tehát a megoldás helyes.

Márki László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. I. o. t.)

II. megoldás. Megoldhatjuk egyenletünket új ismeretlen bevezetése nélkül is. Ha (1) két oldalának van értelme, akkor szorozhatjuk

(5 + 4 x) / (5 - 4 x)

-szel:

\begin{matrix} \frac{20 + 8 x}{20 - 8 x} - \frac{15 + 4 x}{15 - 4 x} = \frac{10}{10} = 1, \end{matrix}

ezt pedig

(5 - 2 x) (15 - 4 x)

-szel szorozva és rendezve

\begin{matrix} 8 x^{2} - 70 x + 75 = 0, x_{1} = 5 / 4, x_{2} = 15 / 2. \end{matrix}

x_{1}

mellett az (1)-beli (nagy) nevezők közös második tagja értelmetlen, ezért csak

x_{2}

lehet gyök. Ez, mint láttuk, valóban megoldás.

Gangli Péter (Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)