Kezdőlap


Feladat:	740. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Balogh Irén
Füzet:	1962/november, 136 - 137. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/január: 740. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A $K_{1}$ kifejezés számlálójának és nevezőjének 2‐2 tagja így írható:

\begin{matrix} \frac{2 x + 1}{x + 1} = 2 - \frac{1}{x + 1}, & \frac{2 x - 1}{x} = 2 - \frac{1}{x}, \\ \frac{2 x - 1}{x - 1} = 2 + \frac{1}{x - 1}, & \frac{2 x + 1}{x} = 2 + \frac{1}{x} . \end{matrix}

Ezért

\begin{matrix} K_{1} = \frac{- \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}}{\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}} = \frac{\frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{1}{(x - 1) x}} = \frac{x - 1}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1} \end{matrix}

(feltéve, hogy

x \neq 0

\pm 1

, mert ez esetben az (1) alaknak nincs értelme).

II. A

K_{2}

-beli számlálók és nevezők könnyen szorzattá alakíthatók, majd a közös tényezőkkel a tagok egyszerűsíthetők:

\begin{matrix} K_{2} = \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x + 2} - \frac{(x - 1) (x - 2)}{x (x - 1)} + \frac{(x - 3) (x - 4)}{(x - 2) (x - 3)} = \\ = \frac{x}{x + 2} - \frac{x - 2}{x} + \frac{x - 4}{x - 2} = 1 - \frac{2}{x + 2} - 1 + \frac{2}{x} + 1 - \frac{2}{x - 2} = \\ = 1 - 2 (\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2}) . \end{matrix}

A továbbalakítást az I. rész mintájára végeztük. Ha a kifejezés értékét kicsi abszolút értékű egész (természetesen 0,

\pm 1

\pm 2

-tól és 3-tól különböző)

x

mellett kell kiszámítanunk, akkor célszerű a zárójel középső tagját akár az első, akár a 3. taggal összevonni:

\begin{matrix} K_{2} = 1 + \frac{4}{4 (x + 2)} - \frac{2}{x - 2} = 1 - \frac{2}{x + 2} - \frac{4}{x (x - 2)} . \end{matrix}

Sokjegyű

x

esetén viszont egyszerűbb a fentebbi utolsó alakból számítani. Vagy pedig mindent közös nevezőre hozva

\begin{matrix} K_{2} = \frac{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 8}{x (x^{2} - 4)} = \frac{(x - 2) x^{2} - 4 (x - 2) - 16}{x (x^{2} - 4)} = \\ = \frac{{(x - 2)}^{2} (x + 2) - 16}{x (x^{2} - 4)} . \end{matrix}

Balogh Irén (Gyula, Erkel F. g. II. o. t.)