Feladat: 739. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kiss Rózsa 
Füzet: 1962/október, 63 - 64. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1961/december: 739. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltétel szerinti ABC-ben a=BC a legnagyobb oldal, így B, C végpontjainál hegyes szögek vannak. Ezért az A csúcs a B és C-ben BC-re állított merőlegesek közti síksávban van, tehát a BC oldalegyenesre való A' vetülete a BC szakaszra esik. Így a b oldal vetülete a-p.

 
 

Az AA'B és AA'C derékszögű háromszögekből AA'=m jelöléssel, átrendezéssel
m2=c2-p2=b2-(a-p)2,és ígyb2-c2=(a-p)2-p2,(b-c)(b+c)=a(a-2p).


A 2. feltételnek a jobb oldali 1. tényezőben és a bal oldali 2. tényezőben való felhasználásával
(b-c)(c+a/2+c)=2(b-c)(a-2p),
innen pedig a pozitív b-c-vel való egyszerűsítés és kellő rendezés után a bizonyítandó állítást kapjuk.
 
 Kiss Rózsa (Cegléd, Kossuth L. g. I. o. t.)
 
Megjegyzések. 1. Az állítás b>c és a=2(b-c) mellett c előjellel vett vetületére is igaz, ha a BC egyenesen B-ből C-be mutató irányt vesszük pozitívnak.
2. A koszinusz-tételt felhasználó dolgozatokat nem tekintettük 2-ik megoldásnak. A közölt megoldásbán nyert első összefüggés lényegében a koszinusz-tétel egy olyan formája, ami a megoldáshoz elegendő, de szögfüggvényt nem tartalmaz. A gyakorlatokat mindig meg lehet oldani legfeljebb II. osztályos tudással.