Kezdőlap


Feladat:	736. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: -
Füzet:	1962/október, 60 - 61. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/december: 736. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az árok keresztmetszetének alapéle $A B$ , a létrák támaszkodási pontja az oldalfalakon $C$ és $D$ úgy, hogy $A C = 3 m$ és $B D = 2 m$ , a létrák keresztezési pontja $E$ , végül ennek vetülete az $A D$ falon $E'$ . Bálint állítása szerint $E' E = 1 m$ .

Gondoljunk a

B C

falhoz hozzátámasztva egy

A C^{*} = 2 m

-es létrát is. Ennek

E^{*}

keresztezési pontja

B D

-vel mindkét létrának felező pontja,

E^{*} D = 1 m

C^{*}

C D

szakaszon van, mert

C

A

körül 2 m sugárral írt körön kívül van,

B

pedig belül (ugyanis

A B < B D = 2 m

). Így

A C

A C^{*}

egyenes

D

-t tartalmazó partján van, tehát az

E

keresztezési pont a

B D

egyenes

E^{*} D

szakaszára esik. Így

\begin{matrix} E' E < E D < E^{*} D = 1 m . \end{matrix}

Bálint tehát lehetetlent állított:

Megjegyzések. 1. Ha már tudjuk, hogy

C^{*}

B C

szakaszon van (tehát

A D = B C^{*} < B C

), akkor így is belátható Bálint állításának lehetetlensége: Az

A D E

és

C B E

háromszögek hasonlók, mert

A D

és

C B

párhuzamossága miatt megfelelő szögeik egyenlők. Mivel

A D < B C

, így a rájuk merőleges magasságokra is

E E' < E E''

(ahol

E''

E

vetülete

B C

-n), tehát

\begin{matrix} A B = E' E + E E'' > 2 E E', \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} E E' < \frac{1}{2} A B < \frac{1}{2} B D = 1 m . \end{matrix}

2. A feladat szövegének helyesbítése előtt számos megoldó megállapította, hogy Bálint (eredeti) állítása (

E E'' = 1 m

) nem helytelen, hanem az árok

d

szélességére vonatkozóan nyújt felvilágosítást. Ugyanis ekkor (minden távolságot méterben mérve)

E E' = d - 1

, Pythagorász tétele szerint

A D = \sqrt[]{4 - d^{2}}

B C = \sqrt[]{9 - d^{2}}

, és az említett hasonlóság folytán

\begin{matrix} \frac{E E'}{E E''} = \frac{A D}{B C}, E E' \cdot B C = E E'' \cdot A D . \end{matrix}

Ebből, a távolságok

d

-vel kifejezett értékeit behelyettesítve, négyzetre emelés és rendezés után a

\begin{matrix} d^{4} - 2 d^{3} - 9 d^{2} + 18 d - 5 = 0 \end{matrix}

egyenletre jutunk. Másrészt tudjuk, hogy

B D = 2 > d > E E'' = 1

.
Mármost az egyenlet bal oldalának értéke

d = 1

mellett

+ 3

, pozitív,

d = 2

mellett

- 5

, negatív, ennélfogva valamely 1 és 2 közti

d

-érték mellett a bal oldal értéke 0.

d = 3 / 2

mellett a bal oldal 1/16, tehát ez a

d

-érték kevéssel nagyobb

1, 5

-nél;

d \approx 1, 507

mellett a bal oldal már negatív és abszolút értékben kisebb

0, 001

-nél. Valóban, ekkor 4 tizedes jegyre

A D \approx 1, 3149

B C \approx 2, 5940

, és így

E' E = A D \cdot E E'' : B C = A D : B C \approx 0, 5069 m

. ‐ Ez az adott esetben a szükségesnél sokkal nagyobb pontosság, hiszen a létrákat egyenesszakaszokkal helyettesítettük, holott ,,vastagságuk'' 10 cm fölött jár. ‐ Ezek szerint

1, 5

méter széles árokban Bálint eredeti állítása helyes.