Kezdőlap


Feladat:	735. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baróti György , Karsay Nóra
Füzet:	1962/október, 57 - 60. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Osztók összege, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/december: 735. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Írjuk fel először az adott számokat minden lehetséges módon más-más négy négyzetszám összegeként, vagyis egyelőre tekintet nélkül a sorrendre és az alapok előjelváltozataira. Ezt megkönnyíthetjük avval, ha előre megállapítjuk az előállításokban fellépő páratlan négyzetszámok számát. Megjegyezzük, hogy páros szám négyzete nyilvánvalóan osztható 4-gyel ‐ más szóval $4 A$ alakú, ahol $A$ egész ‐, páratlan szám négyzete pedig 4-gyel osztva maradékul 1-et ad, $4 A + 1$ alakú, ugyanis ${(2 k + 1)}^{2} = 4 k (k + 1) + 1$ , tehát $A = k (k + 1)$ . Innen azt is látjuk, hogy a páratlan négyzetszámok 8-cal osztva is 1-et adnak maradékul, $8 B + 1$ alakúak, ugyanis a $k (k + 1)$ szorzat tényezői szomszédos egész számok, tehát egyikük páros, s így a szorzat is.
Páratlan számok előállításában a páratlan tagok számának páratlannak kell lennie, 1-nek, vagy 3-nak. Ámde az adott számok közül a páratlanok: 25 és 105, $4 A + 1$ alakúak, viszont három $4 A + 1$ alakú szám összege $4 C + 3$ alakú, így 25 és 105 előállításai pontosan egy páratlan négyzetszámot tartalmaznak.
Páros számaink közül 28 és 84 oszthatók 4-gyel, és 8-cal osztva maradékul 4-et adnak. Ezért kívánt előállításaik állhatnak négy páros négyzetszámból és 4 páratlanból is, mert négy $4 A + 1$ alakú szám összege $4 D$ alakú, és négy $8 B + 1$ alakú szám összege $8 E + 4$ alakú.
A 96 viszont 8-cal is osztható, ezért előállításaiban csak négy páros négyzetszám léphet fel. (Két páros és két páratlan szám négyzetének az összege páros, de 4-gyel nem osztható, így ez egyik adott szám előállításánál sem léphet fel.)
$n = 25$ előállítása páratlan tagjának csak a nála kisebb 25-öt, 9-et, vagy 1-et vehetjük. Így a további három páros tag összegének 0-nak, ill. $25 - 9 = 16$ -nak, ill. 24-nek kell lennie. Ezek a használható 16, 4 és 0 tagokból egy-egy féleképpen állíthatók elő:

\begin{matrix} 25 & = 25 + 0 + 0 + 0, & (1) \\ = 9 + 16 + 0 + 0, & (2) \\ = 1 + 16 + 4 + 4. & (3) \end{matrix}

Hasonlóan

n = 105

négytagú előállításai:
105=81+  24=81+  16+  4+  4,(4)
=49+  56=49+  36+16+  4,(5)
=25+  80=25+  64+16+  0,(6)
=  9+  96=  9+  64+16+16,(7)
=  1+104=  1+100+  4+  0,(8)
=  1+  64+36+  4.(9)

n = 28

előállításai a nála kisebb 25, 9, 1 páratlan négyzetszámokból

\begin{matrix} 28 & = 25 + 1 + 1 + 1, & (10) \\ = 9 + 9 + 9 + 1; & (11) \end{matrix}

a nála kisebb 16, 4, 0 páros négyzetszámokból pedig

\begin{matrix} 28 = 16 + 4 + 4 + 4. \end{matrix}

(12)

Hasonlóan

n = 84

-re, végül

n = 96

-ra

\begin{matrix} 84 & = 81 + 1 + 1 + 1, & (13) \\ = 49 + 25 + 9 + 1, & (14) \\ = 25 + 25 + 25 + 9; & (15) \\ 84 & = 64 + 16 + 4 + 0, & (16) \\ = 36 + 16 + 16 + 16. & (17) \\ 96 & = 64 + 16 + 16 + 0. & (18) \end{matrix}

II. A sorrendi lehetőségek számbavételénél azt nézzük, vannak-e az előállítás tagjai között egyenlők (ugyanis egyenlő tagok felcserélésével nem kapunk új sorrendet), az előjelváltozatoknál pedig azt, hogy fellép-e a tagok között a 0 (mert a 0 számnak nincs előjele). Pl. a (18) előállítás 64-es tagja részére a 4 hely (azaz

x^{2}

y^{2}

z^{2}

és

u^{2}

szerepe) mindegyikét választhatjuk, ez után a 0 részére a megmaradt 3 hely mindegyikét, és ezzel már kiadódott a két 16-os tag helyzete, tehát ezen előállítás tagjait

4 \cdot 3 = 12

sorrendben sorolhatjuk fel.¹
Másrészt az előállítás így is írható:

\begin{matrix} 96 = 64 + 16 + 16 + 0 = {(\pm 8)}^{2} + {(\pm 4)}^{2} + {(\pm 4)}^{2} + 0, \end{matrix}

azért az első három tagban egymástól függetlenül

2 - 2

-féleképpen választhatjuk az alap előjelét, tehát az előjelváltozatok száma (minden egyes felsorolásban)

2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3} = 8

. Ezek szerint a (18) előállítás az

x^{2} + y^{2} + z^{2} + u^{2} = 96

egyenletnek

N_{96} = 12 \cdot 2^{3} = 96

megoldását adja egész számokban.
Mivel pedig

n = 96 = 3 \cdot 2^{5}

, azaz páratlan törzsszám osztója csak a 3, azért pozitív páratlan osztóinak összege

1 + 3 = 4

, ennek 24-szerese

96 = N_{96}

. A tétel (páros számokra vonatkozó) állítását

n = 96

esetében érvényesnek találtuk.
Az

n = 28

-at adó (10)‐(12) előállítások mindegyikében hasonlóan 4-féle sorrend és

2^{4}

-féle előjelváltozat lehetséges, tehát az egyenlet megoldásainak száma

N_{28} = 3 \cdot 4 \cdot 2^{4} = 192

. Másrészt

n = 28 = 7 \cdot 2^{2}

alapján a tétel szerinti szám:

24 (1 + 7) = 192 = N_{28}

n = 84

esetében a (13), (15) és (17) előállítások szerkezetükben megegyeznek a (10)‐(12) alattiakkal. A (14) és (16) előállításoknak mind a négy tagja különböző, ezért első tagjuk helyét 4-féleképpen, 2-ik és 3-ik tagjuk helyét a még üres helyek közül 3-, ill. 2-féleképpen választhatjuk (és ezzel a 4-ik tag helyzete is meg van határozva), tehát tagjaik

4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

sorrendben írhatók. Az előjelváltozatok száma (14)-ben

2^{4}

, (16)-ban

2^{3}

. Ezek szerint a (13)‐(17) előállítások az egyenlet számára

N_{84} = N_{28} + 24 (2^{4} + 2^{3}) = 768

megoldást jelentenek. ‐ Másrészt

n = 84 = 3 \cdot 7 \cdot 2^{2}

alapján a pozitív páratlan osztók ugyanazok, mint

3 \cdot 7 = 21

esetében, összegük:

1 + 3 + 7 + 21 = 32

. Az állítás itt is teljesül:

24 \cdot 32 = N_{84}

.
Hasonlóan

n = 25

-re az (1)‐(3) előállítások

4 \cdot 2^{1} + 4 \cdot 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 2^{4} = 248

megoldást,

n = 105

-re pedig a (4)‐(9) előállítások

2 (4 \cdot 3 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2^{3}) = 1536

megoldást adnak, ugyanis az utóbbi esetben a (4) és (7), az (5) és (9), valamint a (6) és (8) előállítás-párok szerkezete a tagokban fellépő egyenlőségek és a 0-tagok szempontjából megegyező. Másrészt

25 = 5^{2}

és

105 = 3 \cdot 5 \cdot 7

, így pozitív osztóik összege

1 + 5 + 25 = 31

, ill.

1 + 3 + 5 + 7 + 15 + 21 + 35 + 105 = 192

. Ezekkel

8 \cdot 31 = 248

és

8 \cdot 192 = 1536

, tehát a vizsgált páratlan esetekben is érvényesnek találtuk a tétel megfelelő állítását.

Karsay Nóra (Kiskunhalas, Szilády Á. g. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. Az (1)‐(18) előállítások felkutatásában úgy is eljárhatunk, hogy sorokra és oszlopokra rendezett táblázatban képezzük a 0, 1, 4, 9,

...

, 100 négyzetszámokból álló kéttagú összegeket mindaddig, amíg át nem lépjük az adott

n

-értékek legnagyobbikát:

\begin{matrix} 0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 & 49 & 64 & 81 & 100 & . & . \\ [1] & 2 & 5 & 10 & 17 & 26 & 37 & 50 & 65 & 82 & 101 & . & . \\ [4] & 8 & 13 & 20 & 29 & 40 & 53 & 68 & 85 & 104 & . & . \\ [9] & 18 & 25 & 34 & 45 & 58 & 73 & 90 & . & . & . \\ [16] & 32 & 41 & 52 & 65 & 80 & 97 & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . \end{matrix}

(a bal alsó részt mellőztük, mert csak ismétlődéseket tartalmaz). Ezután az előfordult értékeket nagyság szerint rendezzük, most már az ismétlődéseket is tekintetbe véve:

\begin{matrix} 0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 25, 26, ... \end{matrix}

És mivel a négytagú összeg két kéttagú összege gyanánt írható, azért már csak azt kell vizsgálnunk, előállítható-e az adott

n

e sorozat két tagjának összege gyanánt. Pl.

\begin{matrix} 25 = & 0 + 25 = 5 + 20 = 8 + 17 = 9 + 16, és így \\ 25 = & 0 + 0 + 0 + 25 = 0 + 0 + 9 + 16 = 1 + 4 + 4 + 16 = \\ = 4 + 4 + 1 + 16 = 0 + 9 + 0 + 16. \end{matrix}

(két előállítás kétszer is kiadódott).
Így több előkészítő munkát végeztünk, viszont egy csapásra

n

-nek minden 105-nél nem nagyobb értékére megkaphatjuk az előállításokat. Pl.

23 = 5 + 18 = 10 + 13

alapján

23 = 1 + 4 + 9 + 9 = 1 + 9 + 4 + 9

Baróti György (Budapest, I. István g. III. o. t.)

2. A

4 A

alakú számoknak csupa páros négyzetszámból való előállításait nyilván egyszerűbben kaphatjuk, ha képezzük az

A

szám összes előállításait és ezeket szorozzuk 4-gyel.

¹Ezek a következők: 64, 16, 16, 0; 64, 16, 0, 16; 64, 0, 16, 16; 16, 64, 16, 0; 16, 64, 0, 16; 16, 16, 64, 0; 16, 16, 0, 64; 16, 0, 64, 16; 16, 0, 16, 64; 0, 64, 16, 16; 0, 16, 64, 16; 0, 16, 16, 64.