Kezdőlap


Feladat:	734. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagy Zsuzsa
Füzet:	1962/október, 56 - 57. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/december: 734. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $K_{1}$ első két tagjából megkaphatjuk a második kettőt, ha $v$ helyébe $w$ -t írunk és a kifejezés negatívját vesszük, célszerű először az első két tag összegét alakítani át. Ehhez is először általában két 5-ik hatvány összegét alakítjuk át:

\begin{matrix} a^{5} + b^{5} = (a + b) (a^{4} - a^{3} b + a^{2} b^{2} - a b^{3} + b^{4}) = \\ = (a + b) [a^{3} (a - b) + a^{2} b^{2} - b^{3} (a - b)] = (a + b) [(a^{3} - b^{3}) (a - b) + a^{2} b^{2}] = \\ = (a + b) [{(a - b)}^{2} (a^{2} + a b + b^{2}) + a^{2} b^{2}] . \end{matrix}

Itt

a = u + v

és

b = u - v

-vel,

a + b = 2 u

a - b = 2 v

a^{2} + b^{2} = 2 u^{2} + 2 v^{2}

a b = u^{2} - v^{2}

, és így az első két tag összege:

\begin{matrix} K_{11} = {(u + v)}^{5} + {(u - v)}^{5} = 2 u [4 v^{2} (3 u^{2} + v^{2}) + {(u^{2} - v^{2})}^{2}] = \\ = 2 u (u^{4} + 10 u^{2} v^{2} + 5 v^{4}) . \end{matrix}

Továbbá

K_{12} = {(u + w)}^{5} + {(u - w)}^{5} = 2 u (u^{4} + 10 u^{2} w^{2} + 5 w^{4})

, tehát

\begin{matrix} K_{1} = K_{11} - K_{12} = 2 u [10 u^{2} (v^{2} - w^{2}) + 5 (v^{4} - w^{4})] = \\ = 10 u (v^{2} - w^{2}) (2 u^{2} + + v^{2} + w^{2}) = 10 u (v - w) (v + w) (2 u^{2} + v^{2} + w^{2}) . \end{matrix}

Ennek alapján

K_{2}

-t is írhatjuk szorzat alakban. Ha ugyanis

K_{1}

második zárójeléből kiemelünk

- 1

-et,

{(u - v)}^{5} = - {(v - u)}^{5}

, majd

u

helyett

x

-et,

v

helyett

y + z

-t és

w

helyett

z - y

-t írunk,

K_{1}

-ből éppen

K_{2}

áll elő. Ezekkel

v - w = 2 y

v + w = 2 z

, és a jobb oldal

\begin{matrix} K_{2} = 40 x y z (2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2}) = 80 x y z (x^{2} + y^{2} + z^{2}) . \end{matrix}

Ez az alak igazolja az állítást.

Nagy Zsuzsa (Székesfehérvár, Teleki B. lg. I. o. t.)