Kezdőlap


Feladat:	731. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tamás Endre
Füzet:	1962/október, 53 - 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Gördülés (Mozgási geometria), Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/november: 731. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott helyzetben a hatszög szomszédos csúcsaiba rögzített középpontú $k_{1}$ , $k_{2}$ , $k_{3}$ , $k_{4}$ , $k_{5}$ , $k_{6}$ körlemezek érintik egymást, és mindegyik ilyen lemez érinti a hatszög középpontjába rögzített $k_{7}$ körlemezt. A mozgó $k_{8}$ lemez önmagában záródó utat tesz meg, ezért mozgását tetszés szerinti helyzetből kiindulva írhatjuk le.

Vegyünk olyan kiinduló helyzetet, amelyben

k_{8}

két álló (külső) lemezt érint,

k_{1}

-et és

k_{2}

-t, amelyek középpontja rendre

O_{1}

O_{2}

. Legyen ekkor

k_{8}

középpontjának helyzete

M_{1}

, az érintkezési pontok

T_{1}

T_{2}

. A 7 rögzített lemez alakzatának 6-os forgási szimmetriája van, emiatt elég azt megállapítani, mennyivel fordul el

k_{8}

-nak egy kiválasztott sugara a saját

M

középpontja körül addig, míg

k_{8}

egyszerre érintkezik

k_{2}

-vel és annak másik szomszédos külső körével, az

O_{3}

középpontú

k_{3}

-mal. Egy teljes körüljárás alatt ennek az elfordulásnak a 6-szorosával fog elfordulni. Az újabb helyzetben legyen

k_{8}

középpontja

M_{2}

, érintkezési pontjai

U_{2}

U_{3}

M_{1}

-ből

M_{2}

-be gördülve

k_{8}

állandóan a

T_{2} U_{2}

íven érinti

k_{2}

-t. Ez az ív egy harmad kör, mert egy kör köré 6 vele egyenlő sugarú kör helyezhető el úgy, hogy az eredeti kört és két-két másikat érintsenek (mint az első hat álló kör

k_{7}

-et). A

k_{2}

-t érintő 6 kör közül 3 meg van rajzolva,

k_{8}

-nak az

M_{1}

és

M_{2}

közepű helyzete a másik 3 közül a két szélső, és ezeknek a

k_{2}

-vel való érintkezési pontjai között

k_{2}

-nek a harmad része van.

k_{2}

-t egy szokás szerinti óraszámlapnak tekintve mondhatjuk, hogy

k_{8}

a számlap skálájának pl. a 12 órától 4 óráig terjedő ívén gördül el. Vegyük

k_{8}

-at is óraszámlapnak. Ha ez a megindulási helyzetben a

k_{2}

-vel egyező állásban volt, akkor

T_{2}

-be a 6 órás osztáspontja esett, ezért célszerű a mozgás folyamán az

M 6

sugár irányának változását figyelnünk. A gördülés egy pillanatában essék egybe

k_{8}

-nak

V

pontja

k_{2}

-nek

T

pontjával ¹. Mivel nincs csúszás, a

{(12) T}_{}^{⌢}

ív egyenlő a

6' V

ívvel, ebből a sugarak egyenlősége miatt a

6' M' V

és

(12) O_{2} T

szögek egyenlők, és így az

M' 6

sugár 2-szer akkora szöggel fordult el eredeti helyzetéhez képest, mint a

k_{2}

k'_{8}

körpár

O_{2} M'

centrálisa

O_{2} M_{1}

-hez képest. Eszerint amíg

k_{8}

közepe

M_{2}

-be ér, maga a lemez

2 \cdot 120^{\circ} = 240^{\circ}

-kal, 2/3fordulattal fordul el. A teljes körüljárás alatt pedig ennek 6-szorosával, tehát

k_{8}

a saját középpontja körül 4 teljes fordulatot tesz.

Tamás Endre (Budapest, I. István g. II. o. t.)

¹Az ábrán

T

és

k'_{8}

pótlandó.