Kezdőlap


Feladat:	728. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Buócz Enikő , Kálmán György
Füzet:	1962/szeptember, 16 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kettes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/november: 728. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Véve 2 egymás utáni hatványait, $2^{8} = 256$ az utolsó, amely még kisebb 413-nál. Így ez a legnagyobb hatvány, amely az összegben még felléphet, hiszen 2-nek (és bármely pozitiv számnak) minden hatványa pozitív. Ezzel a feladatot visszavezettük a $413 - 2^{8} = 157$ szám 2 különböző hatványainak összegeként való előállítására. Hasonlóan

\begin{matrix} \begin{matrix} 2^{7} = 128 < 157, & és & 157 - 128 = 29, \\ 2^{4} = 16 < 29, & és & 29 - 16 = 13, \\ 2^{3} = 8 < 13 & és & 13 - 8 = 5, \end{matrix} \end{matrix}

végül

5 = 2^{2} + 1 = 2^{2} + 2^{0}

. Eszerint

\begin{matrix} 413 = 2^{8} + 2^{7} + 2^{4} + 2^{3} + 2^{2} + 1, \end{matrix}

a közbülső, elő nem forduló hatványokat is kiírva

\begin{matrix} 413 = 1 \cdot 2^{8} + 1 \cdot 2^{7} + 0 \cdot 2^{6} + 0 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2 + 1, \end{matrix}

végül az alapszám (a 2) hatványainak és az összeadásoknak kiírását a tízes számrendszer helyi értékes írásmódjának mintájára mellőzve

\begin{matrix} 413 = {(110011101)}_{2} . \end{matrix}

Kálmán György (Debrecen, Péterfia úti ált. isk. VIII. o. t.)

II. megoldás. A keresett kifejezés nyilván ilyen alakú lesz:

\begin{matrix} 413 = a \cdot 2^{n} + b \cdot 2^{n - 1} + c \cdot 2^{n - 2} + ... + m \cdot 2^{2} + n \cdot 2 + p, \end{matrix}

ahol az

a

b

c

...

m

n

p

együtthatók mindegyikének értéke 0 vagy 1 lehet, éspedig 1 akkor, ha 2 megfelelő hatványa fellép az összegben, különben pedig 0.
A jobb oldalon az utolsó tagot leszámítva 2 kiemelhető, tehát

\begin{matrix} 413 = 2 (a \cdot 2^{n - 1} + b \cdot 2^{n - 2} + c \cdot 2^{n - 3} + ... + m \cdot 2 + n) + p . \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy a

413 : 2

osztás maradéka a keresett kifejezés utolsó számjegyét,

p

-t adja meg, hányadosa pedig a zárójeles kifejezést:

413 = 2 \cdot 206 + 1

, így

p = 1

és

\begin{matrix} a \cdot 2^{n - 1} + b \cdot 2^{n - 2} + ... + m \cdot 2 + n = 206. \end{matrix}

Most már csak a kisebb 206 számot kell kifejeznünk a kettes rendszerben és a kifejezés végére írnunk a

p = 1

jegyet. Hasonlóan 206-ot 2-vel osztva 413 utolsó előtti számjegye

n = 0

, és

\begin{matrix} a \cdot 2^{n - 2} + \cdot 2^{n - 3} + ... + m = 103. \end{matrix}

A eljárást folytatva

\begin{matrix} 103 : 2 = 51, & 51 : 2 = 25, & 25 : 2 = 12, & 12 : 2 = 6, \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 6 : 2 = 3, & 3 : 2 = 1, & 1 : 2 = 0, \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}

az egymás utáni osztások maradékaiban fordított sorrendben megkaptuk a keresett kifejezés számjegyeit:

413 = {(110011101)}_{2}

Buócz Enikő (Miskolc, Kilián Gy. g. II. o. t.)