A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Vizsgáljuk meg, hol fekszenek azok a pontok, amelyekre pl. éppen , annál kisebb, ill. annál nagyobb. Legyen a háromszög oldalának a felezőpontja . A súlyvonalon az súlypontra lesz, mint ismeretes, a kivánt arány . Húzzunk -en át párhuzamost -nak oldalával. Legyen ennek a , ill. oldalon levő metszéspontja , ill. , és egy tetszés szerinti szakasznak a közös pontja -mal . Ha egybeesik -val, akkor . Ha a szakaszon van, akkor mert az első tört számlálója helyére nagyobb, nevezője helyére kisebb szakaszt írtunk. Végül ha a szakaszon van, akkor hasonló meggondolással mert, így és .
1. ábra Megállapításainkat így is kimondhatjuk: A hányados értéke kisebb ill. nagyobb -nél aszerint , hogy a háromszög belsejében, ill. a trapéz belsejében van, és a hányados értéke , ha a és közös határszakaszának pontja. -t az -en átmenő, -gyel párhuzamos szakasszal és trapézra osztva hasonlóan kapjuk, hagy a hányados értéke a -beli pontokra kisebb, a -beliekre nagyobb -nél és az szakaszon levő pontokra egyenlő -vel, továbbá hogy a hányados a háromszög pontjaira kisebb, a trapéz pontjaira nagyobb -nél, és az szakaszon vett -re egyenlő -vel, ha átmegy -en és párhuzamos -vel. Ezek alapján az állítás bizonyítására elég azt belátnunk, hogy belsejében nincs olyan pont, amely -nak , és -vel való kettévágásai során mindhárom esetben a trapéz belsejébe esnék, és olyan sincs, amely mindháromszor a megfelelő , , ill. -háromszög belsejébe esnék. Valóban, a és trapézok közös részének, a paralelogrammának belseje a háromszög belsejébe esik, tehát nincs közös pontja -mal, és hasonlóan és közös részének, a háromszögnek belseje belsejébe esik, nincs közös pontja -mal. Ezzel az állítást bebizonyítottuk. A bizonyításból az is következik, hogy ha nem azonos a háromszög súlypontjával, akkor a vizsgált arányok között van -nél nagyobb értékű is, -nél kisebb értékű is, mert -et kivéve minden pont csak egy kettévágó szakaszhoz tartozik hozzá.
Kultsár Levente (Hajdúböszörmény, Bocskai I. g. II. o. t.)
II. megoldás. Az, hogy a -nél kisebb, vele egyenlő, vagy nagyobb nála, úgy is fogalmazható, hogy kisebb -nél, egyenlő vele, vagy nagyobb nála. Így -t meghosszabbitva a ponton túl a másfélszeresére, a keletkező végpont a szakasz, és így egyben a háromszög belsejében van, ill. egybeesik -gyel, ill. -en túl, tehát a háromszögön kívül van, amint kisebb -nél, egyenlő vele, vagy nagyobb, mint . Hasonló érvényes a és szakasz -n túl másfélszeresére nyújtásával keletkező , végpontokra.
2. ábra A feladat állítása ennek segítségével a következő módon fogalmazható át: az , , pontok nem lehetnek mind a háromszögön kívül, sem nem lehetnek mind a háromszög belsejében. Ezt fogjuk bebizonyítani. Az háromszög -ból előállítható körül való -os forgatással és arányú egyidejű kicsinyítéssel. Ugyanez áll az oldalfelező pontok alkotta háromszögre, forgatási középpontnak az súlypontot véve. Eszerint és egybevágók, megegyező állásúak, egymásba eltolással átvihetők. Erre támaszkodva megmutatjuk, hogy ha és egyike sem belső pont, akkor belső pont. Ugyanis , ill. nem párhuzamos ; és ez csak úgy lehet, hogy az -nek azon a partján van, mint , mert és a egyenesnek azon a partján van, mint , , így ha -nek ellenkező partján lenne , , mint , akkor az egyenesnek -nél hosszabb szakasza esnék -ba, és így és közül legalább az egyik belsejében volna. Így -val együtt a -nek -mal egyező partjára jut. Viszont szerkesztésénél fogva a -nak -gyel egyező partján és -nak -vel egyező partján van, tehát benne van -ban. Hasonlóan bizonyítható, hogy ha és egyike sem külső pont, akkor a ellenkező partjára esik, mint , s így -n kívül van.
Földes Antónia (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)
3. ábra III. megoldás. Húzzunk merőlegest -ből a , , oldalra, hosszuk legyen , , , továbbá megfelelő magasságai , , . A keletkezett hasonló derékszögű háromszögek felhasználásával
ahol az , , indexek bármelyikét jelentheti. Eszerint elegendő megmutatnunk, hogy az arányok között van olyan, amelyik nem nagyobb, mint , és olyan is, amelyik nem kisebb -nál. A , és háromszögek területének összege egyenlő -nak területével. Ebből átalakítással
Eszerint a távolságokra és az magasságokra fennáll: Jelöljük a , , értékek közt előforduló legkisebb értéket -val, az előforduló legnagyobbat -val. Ekkor Így (1)-ből következik, hogy , . Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
Szentai Judit (Budapest, Kanizsai Dorottya lg. I. o. t.)
4. ábra IV. megoldás. Tegyük fel, hogy a és arányok értéke nem kisebb -nél. Megmutatjuk, hogy ekkor nem nagyobb -nél. Húzzunk -n át párhuzamost -vel és -mal, és legyen ezeknek -mal való metszéspontja , ill. . A , és a , háromszög-párok hasonlósága és a feltevés alapján, mindjárt átalakítással | | Az egyenlőtlenségek mindkét oldalához -et adva | | ezért , , és így | | (2) |
Feltehetjük, hogy a betűzés olyan, hogy . Ekkor , és így | |
Ezt akartuk bizonyítani. Hasonlóan nyerjük, hogy ha a vizsgálandó arányok közül kettőnek az értéke nem nagyobb -nél, akkor a harmadiké nem kisebb -nél.
Gerencsér László (Budapest, Rákóczi F. g. II. o. t.)
|