Kezdőlap


Feladat:	720. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ajtai Miklós
Füzet:	1962/április, 171 - 172. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikai leszámolási problémák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/október: 720. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A leírandó számok száma $999 - 99 = 900$ , jegyeik száma 2700, ezért a teljes felírás $2700 : 25 = 108$ sorra terjed. Hasonlóan az első száz szám (100-tól 199-ig) éppen 12 sort tölt meg. Ezért a 200, 300, $...$ , 900 számok sor elejére, a 100-as szám jegyeivel rendre egy oszlopba kerülnek; hasonló megállapítás érvényes minden olyan számpár jegyeire, amelyek csak a százas értékű jegyükben különböznek. Így az első kérdésben elég az első 12 sorra gondolnunk.

\begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 0 & 0, & 1 & 0 & 1, & 1 & 0 & 2, & 1 & 0 & 3, & 1 & 0 & 4, & 1 & 0 & 5, & 1 & 0 & 6, & 1 & 0 & 7, & 1 \\ 0 & 8, & 1 & 0 & 9, & 1 & 1 & 0, & 1 & 1 & 1, & 1 & 1 & 2, & 1 & 1 & 3, & 1 & 1 & 4, & 1 & 1 & 5, & 1 & 1 \\ 6, & 1 & 1 & 7, & 1 & 1 & 8, & 1 & 1 & 9, & 1 & 2 & 0, & 1 & 2 & 1, & 1 & 2 & 2, & 1 & 2 & 3, & 1 & 2 & 4, \\ 1 & 2 & 5, & 1 & 2 & 6, & 1 & 2 & 7, & 1 & 2 & 8, & 1 & 2 & 9, & 1 & 3 & 0, & 1 & 3 & 1, & 1 & 3 & 2, & 1 \\ 3 & 3, & 1 & 3 & 4, & 1 & 3 & 5, & 1 & 3 & 6, & 1 & 3 & 7, & 1 & 3 & 8, & 1 & 3 & 9, & 1 & 4 & 0, & 1 & 4 \\ 1, & 1 & 4 & 2, & 1 & 4 & 3, & 1 & 4 & 4, & 1 & 4 & 5, & 1 & 4 & 6, & 1 & 4 & 7, & 1 & 4 & 8, & 1 & 4 & 9, \\ 1 & 5 & 0, & 1 & 5 & 1, & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \end{matrix} \end{matrix}

a) Számainkban

0

csak a tízes és az egyes értékű helyen lép fel. A tízes értékű helyen álló tíz 0 az 1. és 2. sorba jut, mert e két sorba 16 számunk fér be, tehát még a 115 is a 2. sorban áll. Az egyes értékű helyen 0 először a ,,100'' számban lép fel, az 1. sor 3. mezején. A 110, 120, 130, 140 számok 0 jegye rendre

10 \cdot 3 = 30

mezővel hátrább következik, ami 1 teljes sort és 5 mezőnyi eltolódást jelent jobbra. Ezért 0 jegyük rendre a 2. sor 8., 3. sor 13., 4. sor 18., 5. sor 23. mezejére jut. A ,,150'' szám 0 jegye a 6. sor 28. mezejére kerülne, de oda már nem írhatunk, ezért a 7. sor 3. mezejére jut, vagyis a ,,100'' szám egyes értékű 0-jegye alá. Eszerint egyrészt a 6. sorban nincs 0, másrészt a ,,150'' szám helyzetéből azt is látjuk, hogy az egyes helyi értékű jegyek már 50-enként ugyanazon oszlopban ismétlődnek. Így tovább menve csak minden hatodik sorban nem lép fel 0 jegy, összesen

108 : 6 = 18

sorban.
b) A 100‐199 közti számokban tízes gyanánt fellépő 9-esek csak a 11. és 12. sorban állnak, mert az első 10 sor 250 mezejére 83 szám fér el, a 11. sor a ,,183'' szám 8-asával kezdődik és hasonló számítás szerint a ,,191'' szám 9-esével végződik. Az egyes gyanánt szereplő első 9-es (a 109-es számból) a 30. számjegy, a 2. sor 5. helyén áll. A 0-okhoz hasonlóan a 119,

...

, 149 számok 9-ese a 3., 4., 5., ill. 6. sorban áll, és így az 1. és a 7. sorban nincs 9-es. Ugyanígy a 200, 300,

...

, 800 kezdetű, száz tagú sorozatokban is 2‐2 sor nem tartalmaz 9-est. A 900 kezdetű sorozatnak nyilván minden sorában van 9-es, tehát a 9-est nem tartalmazó sorok száma

8 \cdot 2 = 16

.
c) Az a) kérdésben láttuk, hogy az egyes helyiértékű 0-ok a 3., 8., 13., 18., és 23. oszlopokban állnak. A tizes értékűekben az első (a 100-asból) a 2. oszlopban áll, és a 101, 102,

...

, 107 szám 0-a oszlopának sorszáma rendre 3-mal nagyobb: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ‐ tehát a 8 és 23 sorszám itt is fellép. Végül a 108 és 109-nek a 0-át az 1. és 4. oszlopba írjuk. Ezek szerint 0-t tartalmaz

5 + (8 - 2) + 2 = 13

oszlop, és nincs 0 jegy 12 oszlopban. d) A százas sorozatokra tett fentebbi megállapításunk alapján elég azt belátnunk, hogy az 1-es számjegy minden oszlopban fellép százas helyiértékű jegy gyanánt. A százas értékű jegyek minden 3. mezőt foglalnak el. Az 1. sor százas értékű jegyei az 1., 4., 10.,

...

, 25. oszlopban állnak, vagyis azon sorszámúakban, amelyek 3-mal osztva 1 maradékot adnak. A 2. sor első 1-ese a 3. oszlopban, a 3. soré pedig a 2. oszlopban áll (a 109-esből, ill. a 117-esből), ezért minden 3-mal osztható sorszámú, ill. minden a 3-mal való osztásnál 2 maradékot adó sorszámú oszlopban van 1-es. Más lehetőség a 3-mal való osztás szempontjából nincs, tehát valóban minden oszlopban találunk 1-est, és minden más 0-tól különböző számjegyet is.

Ajtai Miklós (Budapest, Rákóczi F. Gimn. II. o. t.)