Kezdőlap


Feladat:	718. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Abos I. , Bitai A. , Fejéregyházi S. , Fixek P. , Friss Ilona , Kiss Katalin , Lánc J. , Lehel Cs. , Lehel J. , Lipcsey Zs. , Marosi Judit , Nárai Gy. , Raisz M. , Szentai Judit
Füzet:	1962/április, 169 - 170. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/szeptember: 718. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első meggondolásunkat az 1. ábra helyzetéhez kapcsoljuk, amelyen $D$ az $A C$ szakaszon, $E$ az $A B$ szakaszon van. Ekkor $F$ az $A B C$ háromszög belsejében adódik. Megmutatjuk, hogy az $A D F$ és $A E F$ szögek összege $180^{\circ}$ , ebből következik, hogy $A$ , $D$ , $F$ , $E$ egy kör pontjai.

1. ábra

D

A B A_{1}

háromszög

k_{1}

körülírt körén van, éspedig

A B

-nek ugyanazon oldalán, mint

A_{1}

, ezért

\begin{matrix} A D F ∢ = A D B ∢ = A A_{1} B ∢ . \end{matrix}

(1)

Másrészt

E

A C A_{1}

háromszög

k_{2}

körülírt körén van és

A C

-nek

A_{1}

-gyel megegyező oldalán, ezért

\begin{matrix} A E F ∢ = A E C ∢ = A A_{1} C ∢ . \end{matrix}

(2)

Ezek szerint

\begin{matrix} A D F ∢ + A E F ∢ = A A_{1} B ∢ + A A_{1} C ∢ = 180^{\circ}, \end{matrix}

amit bizonyítani akartunk.
Azokra az esetekre, ha

D

és

E

egyike vagy mindkettőjük kívül adódik az

A C

, ill.

A B

oldalszakaszon, bizonyításunkon kisebb, a lényegbe nem vágó módosításokat kell tennünk.

2. ábra

D

A C

szakaszon adódik,

E

viszont az

A B

szakaszon kívül, akkor

E

csak

A B

-nek

A

-n túli meghosszabbításán lehet, mert

B

k_{2}

körre nézve külső pont, hiszen a

B C

egyenesnek

k_{2}

-vel közös pontjai:

C

és

A_{1}

, a

B

-nek ugyanazon oldalán vannak. Így

D

A C

szakaszon, a

B C E

háromszög belsejében van,

F

pedig a

C E

szakaszon, tehát

D

szétválasztja a

B

F

pontokat. Ekkor (1) és (2) így módosulnak (2. ábra):

\begin{matrix} A D F ∢ = 180^{\circ} - A D B ∢ = 180^{\circ} - A A_{1} B ∢, & (1') \\ A E F ∢ = A E C ∢ = 180^{\circ} - A A_{1} C ∢, & (2') \end{matrix}

ugyanis

E

és

A_{1}

most az

A C

egyenes két különböző oldalán állnak. Összeadással ismét

\begin{matrix} A D F ∢ + A E F ∢ = 360^{\circ} - (A A_{1} B ∢ + A A_{1} C) = 180^{\circ} . \end{matrix}

E

adódik belső pontnak és

D

külsőnek, akkor felcserélve a

B

és

C

betűket és következésképpen

D

E

-t is ‐ a most vizsgált esetre jutunk.
Ha pedig

D

és

E

mindegyike kívül adódik az

A C

, ill.

A B

szakaszon, akkor az előbbi esethez hasonlóan az oldalszakaszok

A

-n túli meghosszabbításán vannak, vagyis az

A B

A C

egyenesnek

A_{1}

-gyel ellentétes oldalán (3. ábra). Ekkor először

F

helyzetét kell tisztáznunk.

3. ábra

Megmutatjuk, hogy

F

A B

egyenesnek

A_{1}

-gyel ellentétes oldalán van, mert a

B D

és

C E

egyeneseknek

A B

-vel bezárt szögei azon az oldalon adnak

180^{\circ}

-nál kisebb összeget. A

B D

és

A B

közti szög egyenlő az

A A_{1} D

szöggel, a

C E

és

A B

közti szög pedig

E

-nél levő külső szöge az

E A A_{1} C

húrnégyszögnek, és így egyenlő a

C A_{1} A

szöggel. Ezért összegük egyenlő a

C A_{1} D

szöggel, ez pedig kisebb

180^{\circ}

-nál, mert

D

és

A

B C

-nek ugyanazon oldalán vannak.
Most már a fentebbiekhez hasonlóan

\begin{matrix} A D F ∢ = 180^{\circ} - A D B ∢ = A A_{1} B ∢, & (1'') \\ A E F ∢ = 180^{\circ} - A E C ∢ = A A_{1} C ∢, & (2'') \end{matrix}

tehát összegük

180^{\circ}

.
Ha

D

, vagy

E

egybeesik

A

-val (

k_{1}

érinti

A C

-t, vagy

k_{2}

érinti

A B

-t), akkor az állítás semmitmondóvá válik.

Szentai Judit (Budapest, Kanizsay Dorottya lg. I. o. t.)

Megjegyzés. Az 1. ábra helyzetében megmutatjuk, hogy az

A_{1}

pontnál levő szögek felhasználását el lehet kerülni.

\begin{matrix} A D F ∢ + A E F ∢ = A D A_{1} ∢ - \\ - B D A_{1} ∢ + A E A_{1} ∢ - C E A_{1} ∢ = \\ = (180^{\circ} - A B C ∢) - B A A_{1} ∢ + \\ + (180^{\circ} - A C B ∢) - C A A_{1} ∢ = 180^{\circ} + \\ + [180^{\circ} - A B C ∢ - A C B ∢ - \\ - (B A A_{1} ∢ + A_{1} A C ∢)] = 180^{\circ} . \end{matrix}

Marosi Judit (Budapest, Berzsenyi D. lg. II. o. t.)