Kezdőlap


Feladat:	716. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Friss Ilona , Jáky Géza
Füzet:	1962/március, 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/szeptember: 716. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a keresett szám $\bar{x y} = 10 x + y$ , ekkor

\begin{matrix} \bar{x y} + 1 = 2 \cdot \bar{y x} azaz 10 x + y + 1 = 20 y + 2 x . \end{matrix}

(1)

Nyilvánvaló ebből, hogy

x > y

. A jobb oldal páros, ezért a bal is, tehát

y

páratlan. Másrészt

y

kisebb

5

-nél, különben ugyanis

x

legalább 6 volna, a jobb oldal legalább 112, és így nem lehetne csupán 1-gyel nagyobb egy kétjegyű számnál. Így

y

értéke 1 vagy 3.

y = 1

mellett

x

nem egész,

y = 3

mellett pedig

x = 7

. A 73 szám valóban megfelel a követelménynek, több ilyen kétjegyű szám nincs.

Jáky Géza (Pécs, Széchenyi I. g. I. o. t.)

Megjegyzés.

y

-ra tett megállapításaink az (1) átalakításával adódó

\begin{matrix} x = 2 y + \frac{3 y - 1}{8} \end{matrix}

kifejezésből is kiolvashatók. Ugyanis

x, y

egészek, ezért

3 y - 1

páros,

y

páratlan; másrészt

2 y < x \leq 9

, tehát

y \leq 4

II. megoldás. A követelményt

\begin{matrix} \bar{x y} + 1 = \bar{y x} + \bar{y x} \end{matrix}

alakban írva az 1-es helyi értékű jegyek összegéből

\begin{matrix} y + 1 = x + x, vagy y + 1 + 10 = x + x \end{matrix}

aszerint, hogy nincs, ill. van átvitel a tízes helyi értékű oszlopba. Az első lehetőségből

y \geq x

adódik, ez lehetetlen. A másodikból

y = 2 x - 11

, egyszersmind a tízes jegyekből, az átvitt maradékkal együtt

\begin{matrix} x = 2 y + 1. \end{matrix}

E két egyenletből

x = 7

y = 3

Friss Ilona (Budapest, Radnóti M. gyak. g. III. o.t.)