Kezdőlap


Feladat:	714. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Vincze Klára
Füzet:	1962/április, 164 - 165. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/szeptember: 714. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A A_{0} = m_{a}$ magasságot elhelyezve, a rá $A_{0}$ -ban állított merőlegest, az $a$ oldalegyenest metsszük az $A$ körül írt $c$ sugarú $k_{1}$ körrel, majd az $f_{a}$ sugarú $k_{2}$ -vel. Az előbbi kimetszi $a$ -ból $B$ -t, az utóbbi $A'$ -t. Ezek után az $A C$ félegyenest az $A B$ félegyenesnek $A A'$ -re vett tükörképe adja. Ennek $k_{1}$ -en levő $D$ pontját az $A'$ körül $A' B$ sugárral írt $k_{3}$ körrel metszhetjük ki.
A létrejött $A B C$ háromszög megfelelő, mert egy oldala $A B$ , a $B C$ -hez tartozó magassága $m_{a}$ , és a $B A C$ szögét felező egyenesnek a háromszögbe eső szakasza $f_{a}$ .

B

és

A'

mindegyike csak akkor jön létre, ha

c ≧ m_{a}

és

f_{a} ≧ m_{a}

. Nem lehet azonban, hogy mindkét feltételben egyenlőség álljon, mert úgy a háromszög elfajul.

B

-re vonatkozóan a szimmetria folytán elég

k_{1}

és

a

egyik közös pontját tekinteni,

A'

-re viszont már mindkettőt kell, mert

A'_{1}

és

A'_{2}

nem egybevágó megoldásokra vezet, hacsak nem

B \equiv A_{0}

, azaz

c = m_{a}

. Az egyik megoldás elfajul, ha

c = f_{a} (\neq m a)

, mert így

A'_{1} \equiv B

. Akkor is ez áll, ha

A B

-nek

A A'

-re vett tükörképe párhuzamos

a

-val. Végül akkor is csökken a szoros értelemben vett megoldások száma, ha a tükörkép

A A_{0}

-lal derékszögnél nagyobb szöget zár be; ekkor azonban a tükörkép helyett meghosszabbítását véve olyan háromszöget kapunk, melyben

A A'

A

-nál levő külső szöget felezi, ez tágabb értelemben elfogadható. Ez a megoldás is elfajul, ha

B A A' ∢ = 90^{\circ}

Vincze Klára (Budapest, Rudas L. közg. t. I. o. t.)

Megjegyzés. Új versenyzőink ‐ amint az várható volt ‐ nem bizonyították az eredmény megfelelő voltát, és a megoldhatóság feltételeit, a megoldások számát sem vizsgálták. Ajánljuk nekik, hogy a teljes megoldást vessék egybe időközben szerzett ismereteikkel.