Kezdőlap


Feladat:	710. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Deák István , Dobó Ferenc , Földes Antónia , Földes Iván , Gáspár Hedvig , Gazsó János , Gerencsér László , Kotsis Domokos , Tasnády Mária
Füzet:	1962/április, 162 - 164. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hozzáférhetetlenségi szerkesztések síkban, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/május: 710. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Elegendő arra az esetre megoldanunk a feladatot, amikor húzható $E$ -n át olyan egyenes, amely $R$ belsejében metszi $c$ -t és $d$ -t. Tegyük ugyanis fel, hogy erre az esetre megoldottuk a feladatot és egy olyan $E$ pont van adva, amelyre a feltétel nem teljesül (1. ábra). Legyenek $c$ $R$ -en levő szakaszának végpontjai $C'$ , $C''$ , egy belső pontja $C^{*}$ , $d$ egy $R$ -en levő pontja $D^{*}$ , és a $C^{*} D^{*}$ egyenesnek egy a $C' C'' E$ háromszög belsejébe eső pontja $E^{*}$ . Ekkor egyrészt a feltétel szerint meg tudjuk szerkeszteni a kívánt módon az $E^{*} M$ egyenes $R$ -re eső szakaszát. Másrészt $E E^{*}$ metszi a $c$ szakaszt, s így feltétel szerint meg tudjuk szerkeszteni az $E$ -t $E^{*} M$ és $c$ metszéspontjával, vagyis $M$ -mel összekötő egyenesnek az $R$ -re eső szakaszát is.

1. ábra

II.

α

) Tegyük tehát fel, hogy lehet

E

-n át olyan

e

egyenest rajzolni (I. lépés), amely

c

-t és

d

-t az

R

-en metszi ‐ a metszéspontok legyenek

C

, ill.

D

‐, továbbá, hogy

E

C D

szakaszon van. Ekkor a 645. gyakorlat 1. ábráján a

b

egyenes szerepét átadhatjuk

e

-nek, az

A_{2}

és

B_{2}

pont szerepét

M

-nek, ill.

E

-nek,

O

és

B

-ét pedig

C

-, ill.

D

-nek. Így a

c

d

egyenesek az

a

, ill.

B A_{2}

egyenes szerepét kapják, és feladatunk a

B_{2} A_{2}

egyenes megfelelőjének megszerkesztése. (A 2. ábra a régi és az új jelöléseket egyaránt mutatja.)

2. ábra

Ezek után egy a

c

-nek

R

-beli szakaszán,

C

és

M

között tetszés szerint felvett

A_{1}

pontból kiindulva (II. lépés)

E M

-et a következő lépésekben kapjuk:
III.: meghúzzuk

A_{1} D \equiv A_{1} B

-t;
IV.: ezzel

E

-n át fektetett

E A \equiv B_{2} A

párhuzamossal

c

-ből kimetsszük

A

-t;
V.: a

d

-vel

A

-n át fektetett párhuzamossal

e

-ből kimetsszük

B_{1}

-et;
VI.: meghúzzuk

A_{1} B_{1}

-et; ekkor
VII.: ezzel az

E

-n át fektetett párhuzamos a keresett

M E

egyenes.
Meg kell mutatnunk, hogy lépéseink mindegyike

R

-ben végrehajtható. Ehhez

R

-ről csak azt használjuk fel, hogy bármely két pontja közti szakasznak minden pontja ugyancsak az

R

-en van (vagyis, hogy

R

egy konvex idom belseje).
Valóban, mivel

E

C D \equiv O B

szakaszon van, és mert a IV. egyenes párhuzamos a III-kal, azért

A

O A_{1}

szakasz pontja, tehát

O

és

A_{1}

-gyel együtt

R

-en van. Ezért

A

O M

szakaszon van, és mivel az V. egyenes párhuzamos

d

-vel, azért

B_{1}

C D

szakaszon van. Így az

A_{1} B_{1}

szakasz

R

-en van, tehát a vele párhuzamos,

E

-n átmenő egyenesnek

R

-en levő szakasza megrajzolható.
A felhasznált párhuzamosok szerkesztése ugyancsak elvégezhető

R

-en; pl. a IV. lépésben az

A_{1} D

szakaszon olyan

S_{1}

segédpontot véve, amelyre

S_{1} D < A E

, az

E D S_{1}

háromszöget

E D S_{1} S_{2}

paralelogrammává kiegészítő

S_{2}

pont az

A E

szakaszon, tehát

R

-en van.
Szerkesztésünk akkor is végrehajtható, ha

E

R

-nek kerületi pontja, hacsak

M

e

-nek ‐ amely így legalább a

C D

szakaszon

R

határvonalát képezi ‐ azon az oldalán van, mint

R

3. ábra

β

) Arra az esetre, ha a

C D

szakasz nem tartalmazza

E

-t, a

c

és

d

betűk esetleges felcserélésével mindenesetre elérhetjük, hogy

C E > D E

legyen. Ekkor a fentiekben elég

B

és

B_{2}

szerepét felcserélnünk, vagyis

E \equiv B

D \equiv B_{2}

d \equiv B_{2} A_{2}

, és a keresett

E M \equiv B A_{2}

egyenest a III.:

E A_{1}

; IV.:

D A

; V.:

A_{1} B_{1}

; VI.:

A B_{1}

; VII.:

B A_{2}

lépésekben kapjuk (3. ábra).

E

ekkor is lehet

R

élén, de nem lehet

R

csúcsában, mert így az

E M

egyenesnek esetleg nincs

R

-en

E

-től különböző pontja.
A fenti II. lépésnek előfeltétele, hogy kijelölhessük a

C

-vel kettévágott

c

-nek azt a félegyenesét, amelyen a kieső

M

pont van. Ezt egy az

e

-vel párhuzamos

e'

egyenes felhasználásával mindenesetre megállapíthatjuk. Ha ugyanis

e'

c

d

-t

C'

D'

-ben metszi, akkor

C' D' < C D

esetén

M

e

-nek azon az oldalán van, mint

e'

C' D' > C D

esetén pedig az ellenkezőn.

C' D' = C D

lehetetlen, mert

c

és

d

nem párhuzamosak.

Kiegészítésekkel összeállítva a következők dolgozataiból:
Deák István (Budapest, Vörösmarty M. Gimn. I. o. t.),
Dobó Ferenc (Budapest, I. István Gimn. II. o. t.) és
Gáspár Hedvig (Debrecen, Kossuth L. gyak. Gimn. I. o. t.)

Megjegyzések. 1. Megmutatjuk, hogy ha

E

-n át nem lehet a

c

és

d

mindegyikét

R

-en belül metsző

e

egyenest húzni, akkor az idézett tételt közvetlenül nem alkalmazhatjuk. Ugyanis, ha a 645. gyakorlat

a

b

egyenesei nem párhuzamosak, akkor az összes szóban forgó egyeneseket metszik, az

A B_{1} A_{1} B A_{2} B_{2}

hatszög oldalegyenesei pedig az összes egyenesek közül csak egy másik egyenest nem metszenek, azt, amellyel párhuzamosak. Így a tételben szereplő 7 pont mindegyikén át van olyan egyenes, amely az összes többi egyeneseket metszi, tehát az

E

pont a tételben szereplő pontok egyikének szerepét sem veheti át.
2. A dolgozatot beküldő versenyzők többsége tévesen két részből állónak tekintette a kérdést, és csak a vélt 1. résszel foglalkozott, ti. az

E M

egyenesnek valamely, a 645. gyakorlat tételét fel nem használó megszerkesztésével. Ezzel szemben csak egyet kellett megmutatni, azt, hogy az

E M

egyenes

R

-en levő szakasza a 645. gyakorlat tétele alapján megszerkeszthető. A legtöbb téves dolgozat

E

-n át

c

d

-vel párhuzamost, vagy rájuk merőlegest szerkesztett, és ezeknek az adott egyenesekkel való metszéspontját és további pontokat felhasználva vélt célhoz jutni, nem törődve azzal, hogy az említett pontok biztosan

R

-en adódnak-e.