A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) A szélső tagok nevezőinek összege egyenlő a közbülső két tag nevezőjének összegével. Ezért megpróbálhatjuk új ismeretlennek venni ezen összeg felét. , azaz helyettesítéssel, a szélső és közbülső tagpárok közös nevezőre hozásával
Eszerint megoldást ad: , és így . A második zárójel nem lehet 0, mert és különbözők, reciprokaik szintén, tehát különbségük nem 0. Eszerint az egyenletnek csak egy gyöke van. b) Itt is fennáll a fent látott összefüggés, de jól használhatjuk azt is, hogy két-két számláló összege 0. E tagokat páronkint összeadva | | Feltéve, hogy egyik nevező sem 0, és véve a két oldal reciprokát, rendezés után | | egyik sem kizárt érték. Valóban, mindkettő kielégíti az egyenletet. c) Az a) esethez hasonló rendezéssel | | A számlálóbeli kéttagú kifejezés a észrevétel alapján szorzattá alakítható: Mostmár -ból (evvel egyik nevező sem 0), a második tényező viszont nem lehet 0, mert bármely mellett pozitív: tehát több gyök nincs. d) Legyen az a) esethez hasonlóan . Így
ami csak , és mellett teljesülhet. Ezek mindegyike megoldást ad, mert velük mind a négy nevező 0-tól különböző szám, éspedig Ámon Magdolna (Győr, Zrínyi Ilona lg. II. o. t.)
Megjegyzés. A gyakorlat kitűzésekor a versenyzők figyelmébe ajánlottuk a 626. gyakorlat megoldását, amely néhány feltételt adott arra, hogy az | | egyenlet megoldható legyen (vegyes) harmadfokú egyenletre vonatkozó ismeretek nélkül. Mint láttuk, mind a négy egyenletünk ebbe a típusba tartozik. Az a) esetben és a bal oldal tagjainak összevonásával ‐ a fenti (1)-et tovább alakítva nem kapunk harmadfokú tagot a számlálóban, amint az idézett helyen általában láttuk a (4) előtti feltételben. Hasonlóan a b) és d) egyenletre az ottani (4a) feltétel teljesül:
A c) esetben látott egyszerűsödést a 626. gyakorlat a feltétel felírása nélkül említette. K.M.L. 22 (1961) 67. o. |