Kezdőlap


Feladat:	704. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Makai Endre , Marosi Judit
Füzet:	1962/március, 112 - 113. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/május: 704. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Világos, hogy (1)‐(3)-ban sem $x$ , $y$ , $z$ , sem a nevezők nem lehetnek 0-k. Vegyük az egyenletek mindkét oldalának reciprokát, osszunk a bal oldalakon tagonként, ekkor az $\frac{1}{x} = u$ , $\frac{1}{y} = v$ , $\frac{1}{z} = w$ ismeretlenekre első fokú egyenletrendszert kapunk:

\begin{matrix} \frac{x + y}{x y} = \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = v + u = 3, \end{matrix}

és hasonlóan

w + v = 4

u + w = 5

.
Az első két egyenlet összegéből a harmadikat kivonva

2 v = 2

, azaz

v = 1

, és így az első két egyenletből

u = 2

w = 3

, végül

\begin{matrix} x = \frac{1}{2}, y = 1, z = \frac{1}{3} . \end{matrix}

Makai Endre (Budapest, Eötvös J. g. I. o. t.)

II. megoldás. A fenti fogást mellőzve sem sokkal nehezebb a megoldás. Fejezzük ki

x

-et és

z

-t (1)-ből, ill. (2)-ből:

\begin{matrix} x = \frac{y}{3 y - 1}, & (4) \\ z = \frac{y}{4 y - 1}, & (5) \end{matrix}

és írjuk be ezeket (3)-ba. A bal oldalt

y \neq 0

-val egyszerűsítve, majd

(3 y - 1) (4 y - 1)

-gyel bővítve

\begin{matrix} \frac{\frac{y}{3 y - 1} \cdot \frac{y}{4 y - 1}}{\frac{y}{3 y - 1} + \frac{y}{4 y - 1}} = \frac{\frac{1}{3 y - 1} \cdot \frac{y}{4 y - 1}}{\frac{1}{3 y - 1} + \frac{1}{4 y - 1}} = \frac{y}{7 y - 2} = \frac{1}{5}, \end{matrix}

amiből

y = 1

. Most már (4) és (5)-ből

x = 1 / 2

z = 1 / 3

, és ez az eredmény mutatja, hogy a fenti bővítés megengedett volt, nem 0-val bővítettünk.

Marosi Judit (Budapest, Berzsenyi D. lg. I. o. t.)