Feladat: 703. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Nagy Péter Tibor ,  Rátkai Miklós 
Füzet: 1962/január, 56. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Beírt kör, Terület, felszín, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1961/április: 703. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A magasságok arányával együtt a megfelelő oldalak aránya is ismert. Írjuk fel ugyanis a háromszög t területének kétszeresét az ma és az mb magassággal kifejezve:

2t=ama=bmb.
Innen
a:b=mb:ma=q:p.

 
 

Két oldal arányát és a közbezárt szöget ismerve a keresett háromszöghöz hasonló A1B1C háromszöget kapunk, ha az adott szög csúcsából ‐ legyen ez C ‐ a szárakra CA1=p és CB1=q szakaszt mérünk.
Ezután szerkesszünk a szög szárait érintő ϱ sugarú k kört (ennek O középpontját a száraktól ϱ távolságra futó, azokkal párhuzamos egyenesek metszéspontja adja). Végül megszerkesztjük k-nak az A1B1-gyel párhuzamos érintői közül azt, amelynek k ugyanazon az oldalán van, mint C, és vesszük az érintőnek a szög szárain levő A, ill. B metszéspontját. Ekkor nyilvánvaló, hogy az ABC háromszög megfelel mind a három követelménynek.
Az említett érintő érintési pontját az O-n átmenő, A1B1-re merőleges egyenes metszi ki k-ból.
A szerkesztés mindegyik lépése bármilyen γ, p, q, ϱ adatokkal egyértelműen végrehajtható, természetesen 0∘<γ<180∘.
 
 Nagy Péter Tibor (Kiskunhalas, Szilády Á. Gimn., I. o. t.)
 
Megjegyzés. A keresetthez hasonló háromszöget kapunk akkor is, ha a γ szög szárait a tőlük p, ill. q távolságra haladó párhuzamosokkal metsszük el. Így az igazolás egyszerűbb, viszont a végrehajtás valamivel bonyolultabb szerkesztésre vezet.
 
 Rátkai Miklós (Esztergom, I. István Gimn., II. o. t.)