Feladat: 702. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Mátrai Miklós 
Füzet: 1962/január, 54 - 55. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkidomok átdarabolása, Terület, felszín, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1961/április: 702. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilvánvaló, hogy L és M-et a BCFE trapéz EF szárának K felezőpontján át BC-vel párhuzamosan húzott egyenes metszi ki AB, ill. CD-ből, továbbá az is, hogy K az ABCD téglalap belsejében, és így L, M a kerületén van. (Ha EF∥BC, akkor ez a lépés felesleges, L≡E, M≡F.)

 
 

Az ALSR téglalaphoz eljuthatunk két az AEHG négyszöggel egyenlő területű derékszögű háromszögön át, amelynek egy csúcsa A, további két csúcsa pedig AB-n, ill. AD-n van. Toljuk el H-t az AEHG négyszög EG átlójával párhuzamosan addig, míg az AB egyenes N pontjába jut. Így az ANG háromszög megfelelő, mert AEG részháromszöge AEHG-nek is része, további részeik pedig, a GEN és GEH háromszögek, egyenlő területűek, mert GE alapjuk közös, és az ehhez tartozó magasságuk szerkesztésnél fogva egyenlő. (Ha H≡E, akkor ez a lépés felesleges, N≡E.)
Húzzuk meg most N-en át a GL-lel párhuzamos egyenest, és legyen ennek AD-vel való metszéspontja P. Így az ALP háromszög egyenlő területű ANG-vel, mert az AGL háromszögből az egyenlő területű GLP, ill. GLN háromszögek elvételével vagy hozzáadásával jönnek létre aszerint, hogy N az AL szakaszon vagy azon kívül adódik. (Ha N≡L, akkor ez a lépés felesleges, P≡G.)
Most már az ALP derékszögű háromszög AL befogója azonos a keresett ALSR téglalap egy oldalával, ennélfogva R, S-et az LP szakasz Q felezőpontján átmenő, AB-vel párhuzamos egyenes metszi ki AD, ill. LM-ből.
Az N segédpont biztosan létrejön ‐ kivéve azt az esetet, ha G≡A, ezt alább külön megvizsgáljuk ‐ és A-tól távolabb adódik, mint E, mert az AEFD trapéz konvex és a GH menti kettévágással előállott részei ugyancsak konvexek, így H és A az EG-nek két oldalán van. Mivel L nem eshet egybe A-val, azért a P segédpont szintén biztosan létrejön. N eshet AB-nek B-n, P pedig AD-nek D-n túli meghosszabbítására is, R azonban mindenesetre az AD szakaszon adódik, mert az AEHG négyszög kisebb területű, mint AEFD, az utóbbi pedig egyenlő területű az ALMD téglalappal.
Ha G≡A, akkor nyilvánvaló, hogy E az A és H mindegyikétől különböző, tehát AEHG elfajul az AEH háromszöggé. Ekkor, véve H-nak AD-n levő T vetületét, az AET derékszögű háromszög egyenlő területű az AEH háromszöggel, és AET-ből úgy haladhatunk tovább, mint fent ANG-ból.
 
 Mátrai Miklós (Hódmezővásárhely, Tanácsköztársaság téri Ált. isk. , VIII. o. t.)
 
Megjegyzés. Számos más úton is végrehajtható a területek kívánt átdarabolása, pl. több dolgozat AEHG-t előbb az AB-hez képest ferde állású téglalappal helyettesítette, majd ezt forgatással illesztette be a BAD szögbe. Hangsúlyozzuk azonban, hogy L és R helyzete egyértelműen meg van határozva.