Feladat: 700. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bresztyenszky Júlia ,  Csada J. ,  Csűrös M. ,  Fazekas P. ,  Földeáki Mária ,  Földes Antónia ,  Gazsó J. ,  Gerencsér L. ,  Gönczy J. ,  Görbe T. ,  Hanák P. ,  Harkányi G. ,  Kocsis B. ,  Kohut J. ,  Mészáros Gy. ,  Mészáros L. ,  Mihályi Z. ,  Nagy Péter T. ,  Pázmándi L. ,  Sólyom Ilona ,  Sümegi Péter ,  Szirai J. ,  Tamás E. ,  Tasnády Mária ,  Tóth L. ,  Vesztergombi F. 
Füzet: 1962/január, 52 - 53. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1961/április: 700. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen egy a feltételeknek megfelelő paralelogramma ABCD, a kerület k, az adott szög BAD=α és az adott átló AC=d.
Hosszabbítsuk meg α szárait, mérjük rájuk B-től BC-t, D-től DC-t, és legyenek a végpontok E, ill. F. Így a BEC, DCF és AEF háromszögek egyenlő szárúak ‐ az utóbbi azért, mert AF=AD+DF=AD+DC=BC+AB=AE, egyenlők a kerület felével ‐, a szárak közti szög mindegyikben α, tehát az alapon levő szögeik is egyenlők. Ezért BEC=AEF, tehát EF átmegy C-n.

 
 

Ennek alapján a szerkesztés a következő: α-ból és AE=AF=k/2-ből megszerkesztjük az AEF háromszöget, ennek EF alapjából az A körül d sugárral írt körívvel kimetsszük C-t, végül az AE-vel, AF-fel C-n át húzott párhuzamossal AE-ből, ill. AF-ből kimetsszük B-t, D-t.
A szerkesztés helyessége nyilvánvaló. A körívnek EF-fel 2, 1, vagy 0 közös pontja van. 2 metszéspont esetén az adódó 2 paralelogramma egymásnak tükörképe a BAD szög felezőjére, tehát nem különbözők; a metszéspontok csak akkor lesznek az EF szakaszon, ha d<k/2. Ha a körív érinti EF-et, akkor rombuszt kapunk, mert EC=CF, így BECDCF, tehát BC=DC.
 
 Sümegi Péter (Kővágóörs, Ált. isk. VIII. o. t.)
 
Megjegyzés. A legtöbb dolgozat az ABC részháromszög megszerkesztésére vezette vissza a feladatot az AB+BC=k/2 összegből, AC oldalból és a B-nél levő külső szögből (az AEC segédháromszögben az ACE szög szerkeszthető, és adottak az AE, AC oldalak, az utóbbi kisebb, mert AC<AB+BC=AE). Így nincs szükség az F pontra, viszont a szög felhasználása valamivel nehézkesebb, másrészt nem annyira szembeötlő, hogy a két megoldás egybevágó.