Kezdőlap


Feladat:	1CMG0699	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Gerencsér László
Füzet:	1962/január, 52. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diofantikus egyenletek, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1CMG0699 feladat dekódolása nem sikerült. 1961/április: 1CMG0699

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a 60, 50, 10 Ft egységárú tárgyak száma sorra $x$ , $y$ , $z$ , így az

\begin{matrix} x + y + z = 20, & (1) \\ 60 x + 50 y + 10 z = 720 & (2) \end{matrix}

határozatlan egyenletrendszert kell megoldanunk, de megoldásnak csak pozitív egész számot fogadhatunk el. Egyszerűsítsük (2)-t 10-zel és vonjuk ki belőle (1)-et:

\begin{matrix} 5 x + 4 y = 52. \end{matrix}

(3)

Ezt

x = 4 (13 - x - y)

alakban írva látható, hogy

x

egy 4-gyel osztható szám:

x = 4 t

, és így (3)-ból

y = 13 - 5 t

.
Most már az

x > 0

y > 0

követelményből látjuk, hogy egyrészt

t > 0

, másrészt

t < 13 / 5

, így csak a

t = 1

és 2 értékek jönnek szóba. Ezekkel

\begin{matrix} x = 4 t & = 4, 8 \\ y = 13 - 5 t & = 8, 3 \\ és így z = 20 - x - y & = 8, 9, \end{matrix}

tehát a vásárlás kétféleképpen volt lehetséges.

Gerencsér László (Budapest, Rákóczi F. Gimn., I. o. t.)

Megjegyzés. Egyszerűbb egyenletekre jutunk, ha

x

-et, ill.

y

-t küszöböljük ki. Az egyszerűsített (2) ből (1)-nek 5-szörösét, ill. 6-szorosát vonva le

\begin{matrix} y + 5 z = 48, - x + 4 z = 28, azaz \\ y = 5 (9 - z) + 3, & (4) \\ x = 4 (z - 7) . & (5) \end{matrix}

(5)-ből ismét

z \geq 8

, (4)-ből pedig

z \leq 9

adódik.