Kezdőlap


Feladat:	698. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Papp László
Füzet:	1962/január, 51 - 52. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/április: 698. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két gyökös kifejezés helyett az $u$ , ill. $v$ új ismeretlent bevezetve

\begin{matrix} x = u^{3} + 3, y = v^{3} - 4, \end{matrix}

(1)

és az egyenletrendszer így alakul:

\begin{matrix} u + v = 11, & (2) \\ u^{3} + v^{3} = 341. & (3) \end{matrix}

(3) bal oldalát

(u + v) (u^{2} - u v + v^{2})

alakban írva és (2) figyelembevételével másodfokú egyenletet kapunk:

\begin{matrix} u^{2} - u v + v^{2} = 31. \end{matrix}

(4)

(2) négyzetéből levonva (4)-et

3 u v = 90

u v = 30

. Ebből és (2)-ből

u

és

v

a következő egyenlet két gyöke:

\begin{matrix} t^{2} - 11 t + 30 = 0. \end{matrix}

(5)

Ennek gyökei 5 és 6, így

u_{1} = 5

v_{1} = 6

;

u_{2} = 6

v_{2} = 5

, végül (1) alapján

\begin{matrix} x_{1} = 128, y_{1} = 212; x_{2} = 219, y_{2} = 121. \end{matrix}

Papp László (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. Azok a megoldások, amelyek

\sqrt[3]{x - 3}

-ra, vagy

\sqrt[3]{y + 4}

-re felírt másodfokú egyenleten át jutottak eredményre, a fentitől csak jelölésben különböznek.
(2)-ből

v

-t (3)-ba helyettesítve

u

-ra kapnánk (5)-tel egyező egyenletet. A követett út világosabban mutatja

u

és

v

szimmetriáját, és azt, hogy miért csökken a fokszám 3-ról 2-re.