Kezdőlap


Feladat:	692. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Koris Kálmán , Krokos János
Füzet:	1962/január, 45. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/március: 692. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A szemben fekvő $A$ és $C$ csúcsoknál levő szögek összege $180^{\circ}$ , ezért a szerkesztendő négyszög húrnégyszög. Legyen az $A$ -ból $B C$ -re bocsátott merőleges talppontja $E$ , így $E A B ∢ = 90^{\circ} - A B E ∢ = 15^{\circ}$ . Megmutatjuk, hogy a $B A D ∢$ fennmaradó $E A D ∢ = 45^{\circ} - 15^{\circ} = 30^{\circ}$ részét az $A C$ átló felezi. Valóban, $C A E$ és $D B E = D B C$ merőleges szárú hegyes szögek, $C A D$ és $C B D$ pedig a $C D$ íven nyugvó kerületi szögek, tehát $C A E ∢ = D B E ∢ = D B C ∢ = D A C ∢$ . Így $C A B ∢ = 30^{\circ}$ , és az $A B C$ háromszög $A B$ -ből és a rajta fekvő szögekből megszerkeszthető.

Most már a

D

pont háromféleképpen is szerkeszthető: rajta van az

A B

-vel

A

-ban (a

C

-vel egyező oldalon)

45^{\circ}

-ot bezáró

A D

egyenesen, a

B

-n át

A C

-re állított

B D

merőlegesen és az

A B C

háromszög körülírt körén.
Véve pl.

A D

és

B D

metszéspontját, a szerkesztés helyességének bizonyítására csak azt kell megmutatnunk, hogy teljesül

B C D ∢ = 135^{\circ}

. Mivel

A B D ∢ = 90^{\circ} - B A C ∢ = 60^{\circ}

, így

B D A ∢ = 75^{\circ}

, annyi, mint

B C A ∢

, tehát

C

és

D

A B

szakasz

75^{\circ}

nyílású látószögkörívén vannak,

A B C D

húrnégyszög. És mivel

D B A ∢ < C B A ∢

, és így

B D

szétválasztja

A

-t és

C

-t, azért

B C D ∢ = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}

.
A szerkesztés minden lépése egyértelmű, csak 1 megoldás van.

Krokos János (Miskolc ‐ Diósgyőr, Kilián Gy. g. II. o. t.)

II. megoldás.

45^{\circ} + 135^{\circ} = 180^{\circ}

miatt a négyszög húrnégyszög. Egyik átlója

45^{\circ}

, a másik

75^{\circ}

szög alatt látszik a fölötte levő nagyobb körívről. Ebből adódik a következő szerkesztés. Tetszés szerinti körben meghatározzuk a

45^{\circ}

és

75^{\circ}

alatt látszó ív húrját, ezeket egymásra merőleges helyzetbe forgatva (a rájuk merőleges sugár felhasználásával) megkapjuk a négyszög alakját. Ebből hasonlósági transzformációval kapjuk a kívánt négyszöget.

Koris Kálmán (Budapest, Rákóczi F. g. I. o. t.)

Megjegyzés. A szóban forgó négyszög másképpen meghatározva szerepelt az 1021. feladatban.