Kezdőlap


Feladat:	691. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ferenczy Éva , Szirai József
Füzet:	1961/december, 219 - 220. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/március: 691. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kifejezések egyszerűbbek, áttekinthetőbbek lesznek, ha átmenetileg a következő jelöléseket vezetjük be:

\begin{matrix} A^{2} + B^{2} = D^{2}, & (1) \\ A^{2} + B^{2} - C^{2} = D^{2} - C^{2} = E^{2} . & (2) \end{matrix}

Ezekkel (1) így alakul:

\begin{matrix} \frac{A C + B E}{D^{2}} = \frac{(B + C) (A + E)}{D^{2} + B C + A E} . \end{matrix}

(3)

Képezzük a két oldal különbségét. Közös nevezőre hozás után a számláló:

\begin{matrix} S = (A C + B E) (D^{2} + B C + A E) - D^{2} (B + C) (A + E) . \end{matrix}

A kivonandó

D^{2} (B E + A C + A B + C E)

, és a zárójel első két tagja a kisebbítendő első tényezőjét adja. Így

\begin{matrix} S = (A C + B E) (B C + A E) - D^{2} (A B + C E) = A B C^{2} + A^{2} C E + B^{2} C E + \\ + A B E^{2} - A B D^{2} - C E D^{2} = A B (C^{2} + E^{2} - D^{2}) + C A (A^{2} + B^{2} - D^{2}) . \end{matrix}

Itt az első zárójelben (2) szerint, a másodikban pedig (1) szerint 0 áll, tehát a felírt egyenlőség valóban azonosság, hacsak

A

B

C

olyan számok, amelyekre mindkét oldalnak van értelme.

E

a négyzetgyök mindkét értékét jelentheti, de természetesen mind a három helyen ugyanaz a gyök veendő.

Ferenczy Éva (Orosháza, Táncsics M. g. II. o. t.)

Megjegyzés. Lényegében ugyanígy járunk el, ha (3)-ban a jobb oldali számláló tagokra bontása után észrevesszük, hogy az egyenlőség

\begin{matrix} \frac{F}{D^{2}} = \frac{F + G}{D^{2} + H} \end{matrix}

alakban írható, ahol

F = A C + B E

G = A B + C E

és

H = A E + B C

. Így csak azt kell igazolnunk, hogy

G / H = F / D^{2}

. Ezt mutattuk meg a megoldás további részében.

Szirai József (Nagykőrös, Arany J. g. II. o. t.)