Kezdőlap


Feladat:	688. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friss Ilona , Kovács Gergely
Füzet:	1961/december, 214 - 216. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/március: 688. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(1)-ben $1, 618$ helyére mind a négy helyen $0, 618$ -et írva (2)-t kapjuk. Célszerű ezért a két egyenlet helyett a következő, az $1, 618$ , ill. $0, 618$ szám helyén a $c$ paramétert tartalmazó egyenletet megoldani, majd az eredményben írni $c$ helyére $1, 618$ -et, ill. $0, 618$ -et:

\begin{matrix} \frac{c + \frac{1}{x}}{c - \frac{1}{x}} = c + \frac{1}{c} . \end{matrix}

x = 0

és az

x = 1 / c

értékekkel a bal oldalnak nincs értelme; így ezek nem gyökei az egyenletnek.
Mindkét oldalhoz 1-et adva csak a nevezőben lép fel az ismeretlen. Ekkor célszerű mindkét oldal reciprokát venni:

\begin{matrix} \frac{c + \frac{1}{x}}{c - \frac{1}{x}} + 1 = \frac{2 c}{c - \frac{1}{x}} = c - \frac{1}{c} + 1 = \frac{c^{2} + c + 1}{c}, \\ \frac{c - \frac{1}{x}}{2 c} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 c x} = \frac{c}{c^{2} + c + 1} . \end{matrix}

Rendezéssel és ismét a reciprokokat véve

\begin{matrix} \frac{1}{2 c x} = \frac{1}{2} - \frac{c}{c^{2} + c + 1} = \frac{c^{2} - c + 1}{2 (c^{2} + c + 1)}, végül \\ x = \frac{c^{2} + c + 1}{c (c^{2} - c + 1)} = \frac{1}{c} (1 + \frac{2 c}{c^{2} - c + 1}) = \frac{1}{c} + \frac{2}{c^{2} - c + 1} . \end{matrix}

c_{1} = 1, 618

és

c_{2} = 0, 618

behelyettesítése folyamán kevesebb számolással érhetünk célhoz, ha kihasználjuk, hogy

c_{1} - c_{2} = 1

, vagyis

c_{1} - 1 = c_{2}

, és

c_{2} + 1 = c_{1}

. Így ugyanis a

c_{1}

-gyel adódó

x_{1}

második tagjának nevezője

\begin{matrix} (c_{1}^{2} - c_{1}) + 1 = c_{1} (c_{1} - 1) + 1 = c_{1} c_{2} + 1, és így \\ x_{1} = \frac{1}{c_{1}} + \frac{2}{c_{1} c_{2} + 1} . \end{matrix}

Ugyanígy a

c_{2}

-vel adódó

x_{2}

-re

\begin{matrix} c_{2}^{2} - c_{2} + 1 = (c_{2}^{2} + c_{2}) - 2 c_{2} + 1 = c_{1} c_{2} + 1 - 2 c_{2}, és így \\ x_{2} = \frac{1}{c_{2}} + \frac{2}{c_{1} c_{2} + 1 - 2 c_{2}} . \end{matrix}

Mármost

c_{1} c_{2} = 0, 999 924

. Ha

x_{1}

, és

x_{2}

-t 3 tizedes jegynyi (ezredrész) pontossággal akarjuk kiszámítani, akkor

c_{1} c_{2}

-t kerekítéssel 1-nek vehetjük. Ez azt jelenti, hogy a szereplő

1 / c_{1}

helyére kielégítő pontossággal

c_{2}

-t írhatunk, továbbá

1 / c_{2}

helyére

c_{1}

-et. Így

\begin{matrix} x_{1} & \approx c_{2} + \frac{2}{1 + 1} = c_{2} + 1 = c_{1} = 1, 618, és \\ x_{2} & \approx c_{1} + \frac{2}{2 - c_{2}} = c_{1} + \frac{1}{1 - c_{2}} \approx 1, 618 + 2, 618 = 4, 236, \end{matrix}

vagyis (1) és (2) megoldása 3 tizedes pontossággal

\begin{matrix} x_{1} \approx 1, 618, ill. x_{2} \approx 4, 236. \end{matrix}

c_{1}

és

c_{2}

helyén az adott négyzetgyökös kifejezésekkel pontosan áll

c_{1} c_{2} = 1

, így csak

x_{2}

második tagját kell számítanunk:

\begin{matrix} \frac{1}{1 - c_{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt[]{5}}{2}} = \frac{2 (3 + \sqrt[]{5})}{9 - 5} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt[]{5}}{2}, így \\ x_{2} = (\frac{\sqrt[]{5}}{2} + \frac{1}{2}) + (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt[]{5}}{2}) = \sqrt[]{5} + 2, és x_{1} = \frac{\sqrt[]{5} + 1}{2} . \end{matrix}

Kovács Gergely (Győr, Czuczor G. g. I. o. t.)

Friss Ilona (Budapest, Radnóti M. g. II. o. t.)