Kezdőlap


Feladat:	686. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Raisz Miklós , Sólyom Ilona
Füzet:	1961/december, 212 - 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/február: 686. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A háromszög $t$ területét az oldalakból a Heron‐képlettel lehet kiszámítani. $t$ az $m$ , $n$ , $p$ , $q$ paraméterek bármely megengedett rendszere mellett akkor racionális szám, ha a képletben kijelölt négyzetgyökvonást általában el lehet végezni, vagyis a gyökjel alatt egy (racionális) kifejezés négyzete áll. Ennek minél egyszerűbb belátása céljára igyekezzünk az adottakból az $s$ , $s - a$ , $s - b$ , $s - c$ kifejezéseket szorzat alakjában előállítani. $a$ és $b$ kifejezése szerkezetének hasonlósága alapján várható, hogy már $a + b$ és $a - b$ is szorzattá alakítható. Valóban, tagokra bontás után átcsoportosítva

\begin{matrix} a + b = m n p^{2} + m n q^{2} + m^{2} p q + n^{2} p q = m p (n p + m q) + n q (m q + n p) = \\ = (m p + n q) (m g + n p), \\ a - b = m p (n p - m q) + n q (m q - n p) = (m p - n q) (n p - m q) . \end{matrix}

Mindkét szorzat egy‐egy tényezőben megegyezik

c

-vel. Ezt mindjárt kiemelve és a másik tényezőket összeadva, ill. kivonva a Heron‐képlethez szükséges tényezők 2-szeresei:

\begin{matrix} 2 s = (a + b) + c = (m q + n p) \cdot 2 m p, \\ 2 s - 2 c = (a + b) - c = (m q + n p) \cdot 2 n q, \\ 2 s - 2 b = (a - b) + c = (m p - n q) \cdot 2 n p, \\ 2 s - 2 a = - (a - b) + c = (m p - n q) \cdot 2 m q . \end{matrix}

Ezekkel a képlet gyökjele alatt álló szorzat teljes négyzet:

\begin{matrix} s (s - a) (s - b) (s - c) = {(m q + n p)}^{2} {(m p - n q)}^{2} m^{2} n^{2} p^{2} q^{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} t = m n p q (m q + n p) (m p - n q) . \end{matrix}

Ennek kiszámításában az

m

n

p

q

pozitív racionális számokkal csak összeadást, kivonást és szorzást végzünk, ezért

t

racionális szám. (

t > 0

, mert a feltevés folytán

m p > n q

Sólyom Ilona (Budapest, Veres Pálné lg. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. Eredményünk

t = m n p q c

alakban is írható. Eszerint a

c

oldalhoz tartozó

h_{c}

magasság is egyszerűen fejezhető ki

m

n

p

q

-val:

h_{c} = 2 t / c = 2 n m p q

. Ebből ‐ emlékezve a pythagorászi számhármasokat előállító

\begin{matrix} u^{2} - v^{2}, 2 u v, u^{2} + v^{2} \end{matrix}

(1)

képlethármasra¹ ‐ egyszerű magyarázatot adhatunk az adott képlethármas keletkezésére.
(1) első két számának négyzetösszege a harmadik szám négyzetét adja:

\begin{matrix} {(u^{2} - v^{2})}^{2} + {(2 u v)}^{2} = u^{4} + 2 u^{2} v^{2} + v^{4} = {(u^{2} + v^{2})}^{2}, \end{matrix}

tehát Pythagorász tételének megfordítása szerint (1) számai bármely

u > v > 0

számpár mellett derékszögű háromszög oldalainak mértékszámait adják, a harmadik szám az átfogó. Ha

u

v

racionálisok, akkor az oldalak és a terület is racionálisok, mert a terület a befogók szorzatának fele,

u v (u^{2} - v^{2})

. Így

u

v

helyén a feladatban szereplő

m

n

, ill.

p

q

racionális számpárokkal a

\begin{matrix} m^{2} - n^{2}, 2 m n, m^{2} + n^{2} és & (2) \\ p^{2} - q^{2}, 2 p q, p^{2} + q^{2} & (3) \end{matrix}

racionális számhármasok egy‐egy derékszögű háromszög oldalainak mérőszámai.
Nyilvánvaló, hogy (2) és (3) tagjait egy‐egy racionális számmal szorozva, vagyis a háromszögeket racionális arányban nagyítva az új oldalak és az új terület is racionálisok. Ha mármost (2)-t

p q

-val, (3)-at

m n

-nel szorozzuk:

\begin{matrix} p q (m^{2} - n^{2}), 2 m n p q, p q (m^{2} + n^{2}); m n (p^{2} - q^{2}), 2 m n p q, m n (p^{2} + q^{2}), \end{matrix}

a két új háromszög második befogója megegyezik.

1. ábra

Ezeket közös befogójuk mentén úgy egymáshoz illesztve, hogy a derékszögek csúcsai egybeessenek, egyetlen háromszöget kapunk, melynek két oldala a két új átfogó ‐ éppen az adott

b

, ill.

a

, ‐ a harmadik pedig a nem közös befogók összege:

\begin{matrix} p q (m^{2} - n^{2}) + m n (p^{2} - q^{2}) = p q m^{2} + m n p^{2} - p q n^{2} - m n q^{2} = \\ = m p (m q + n p) - n q (n p + m q) = (m p - n q) (m q + n p), \end{matrix}

ez pedig éppen

c

. A részháromszögek területe racionális, tehát az összeillesztéssel nyert háromszög területe, amazok összege, ugyancsak racionális.

Raisz Miklós (Miskolc, Földes F. g. II. o. t.)

2. Világos, hogy a két háromszög úgy is összeilleszthető, hogy amelyiknek a nem közös befogója nagyobb, az fedi a másikat.

2. ábra

3. Ha az

a

b

c

pozitív egész számok egy háromszög oldalainak mértékszámai, és e háromszög területének mértékszáma ugyancsak egész, akkor

a

b

c

-t Heron‐féle számhármasnak szokás nevezni. Ha még

a

b

c

-nek nincs közös osztója, akkor alaphármassal állunk szemben.

¹Lásd legutóbb K. M. L. 22 (1961) 3. o. Bővebben: Rademacher‐Toeplitz: Számokról és alakzatokról (Középiskolai Szakköri Füzetek, Tankönyvkiadó, 1954) 84. o. Ott

u

v

erősebb követelményeket is kielégítő racionális számok.