A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A háromszög területét az oldalakból a Heron‐képlettel lehet kiszámítani. az , , , paraméterek bármely megengedett rendszere mellett akkor racionális szám, ha a képletben kijelölt négyzetgyökvonást általában el lehet végezni, vagyis a gyökjel alatt egy (racionális) kifejezés négyzete áll. Ennek minél egyszerűbb belátása céljára igyekezzünk az adottakból az , , , kifejezéseket szorzat alakjában előállítani. és kifejezése szerkezetének hasonlósága alapján várható, hogy már és is szorzattá alakítható. Valóban, tagokra bontás után átcsoportosítva
Mindkét szorzat egy‐egy tényezőben megegyezik -vel. Ezt mindjárt kiemelve és a másik tényezőket összeadva, ill. kivonva a Heron‐képlethez szükséges tényezők 2-szeresei:
Ezekkel a képlet gyökjele alatt álló szorzat teljes négyzet: | | tehát Ennek kiszámításában az , , , pozitív racionális számokkal csak összeadást, kivonást és szorzást végzünk, ezért racionális szám. (, mert a feltevés folytán .)
Sólyom Ilona (Budapest, Veres Pálné lg. II. o. t.) | Megjegyzések. 1. Eredményünk alakban is írható. Eszerint a oldalhoz tartozó magasság is egyszerűen fejezhető ki , , , -val: . Ebből ‐ emlékezve a pythagorászi számhármasokat előállító képlethármasra ‐ egyszerű magyarázatot adhatunk az adott képlethármas keletkezésére. (1) első két számának négyzetösszege a harmadik szám négyzetét adja: | | tehát Pythagorász tételének megfordítása szerint (1) számai bármely számpár mellett derékszögű háromszög oldalainak mértékszámait adják, a harmadik szám az átfogó. Ha , racionálisok, akkor az oldalak és a terület is racionálisok, mert a terület a befogók szorzatának fele, . Így , helyén a feladatban szereplő , , ill. , racionális számpárokkal a
racionális számhármasok egy‐egy derékszögű háromszög oldalainak mérőszámai. Nyilvánvaló, hogy (2) és (3) tagjait egy‐egy racionális számmal szorozva, vagyis a háromszögeket racionális arányban nagyítva az új oldalak és az új terület is racionálisok. Ha mármost (2)-t -val, (3)-at -nel szorozzuk: | | a két új háromszög második befogója megegyezik. 1. ábra Ezeket közös befogójuk mentén úgy egymáshoz illesztve, hogy a derékszögek csúcsai egybeessenek, egyetlen háromszöget kapunk, melynek két oldala a két új átfogó ‐ éppen az adott , ill. , ‐ a harmadik pedig a nem közös befogók összege:
ez pedig éppen . A részháromszögek területe racionális, tehát az összeillesztéssel nyert háromszög területe, amazok összege, ugyancsak racionális.
Raisz Miklós (Miskolc, Földes F. g. II. o. t.) | 2. Világos, hogy a két háromszög úgy is összeilleszthető, hogy amelyiknek a nem közös befogója nagyobb, az fedi a másikat. 2. ábra 3. Ha az , , pozitív egész számok egy háromszög oldalainak mértékszámai, és e háromszög területének mértékszáma ugyancsak egész, akkor , , -t Heron‐féle számhármasnak szokás nevezni. Ha még , , -nek nincs közös osztója, akkor alaphármassal állunk szemben.
Lásd legutóbb K. M. L. 22 (1961) 3. o. Bővebben: Rademacher‐Toeplitz: Számokról és alakzatokról (Középiskolai Szakköri Füzetek, Tankönyvkiadó, 1954) 84. o. Ott , erősebb követelményeket is kielégítő racionális számok. |