A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a és oldal felezőpontja , ill. , az és súlyvonalszakaszok közös pontja ‐ a súlypont ‐, végül és vetülete -n , ill. . Így az adott magasság. Ismeretes, hogy és . Az -nál közös hegyes szöggel bíró és derékszögű háromszögek hasonlók, ezért . Eszerint mindhárom adott szakaszt megharmadolva megszerkeszthetjük az részháromszöget: egy egyenesre egy pontjában állított merőlegesre felmérjük az hosszúságú -t, majd a kapott pont körül , ill. sugarú körívvel -ból kimetsszük -t, ill. -t. Ebből -t -nek -ra való tükrözésével, -t pedig -nak az félegyenesre való felmérésével kapjuk. A kapott háromszög megfelel, mert benne miatt az szakasz súlyvonal, miatt súlypont, ugyanezért , végül miatt . Az háromszög megszerkeszthető, ha és nem kisebbek -nál, vagyis és . (Ha azonban mindkét feltételben egyenlőség áll, akkor a háromszög elfajul.) Általában 2 megoldás van, mert pl. gyanánt elég a körív egyik metszéspontját elfogadni; gyanánt azonban a körívnek már mindkét metszéspontját tekintetbe kell vennünk. Csak egy megoldás van, ha a feltételek egyikében egyenlőség áll, és ha , vagyis ha az háromszög derékszögű, ill. ha egyenlő szárú -vel mint tengellyel.
Róna György (Kaposvár, Táncsics M. g. I. o. t.)
Megjegyzések. 1. Hasonló megoldást kapunk, ha a magasság harmadolása helyett előbb az derékszögű háromszöget szerkesztjük meg és -ból, majd -t, végül -t -nak -hoz közelebbi harmadolópontjából ismét az I. megoldás szerint szerkesztjük. -et megszerkesztve -t is megkaphatjuk: felező merőlegesét metsszük az körül sugarú körrel. Így -t az , -t pedig a egyenes metszi ki -ből.
Mészáros László (Budapest, Piarista g. II. o. t.)
2. Egyetlen harmadolással is célhoz érhetünk. Messe az -n átmenő, -vel párhuzamos egyenest -ben, és a -n átmenő, -lal párhuzamos egyenes -t -ben. Ekkor a és a idom paralelogramma, ezért egyrészt a háromszög a -ből kiinduló és oldalai és magassága alapján megszerkeszthető, másrészt , tehát és a szakasz harmadoló pontjai. Most már -t a -nek paralelogrammává való kiegészítésével kapjuk. ‐ Itt az 3-szorosan nagyított képéből indultunk ki.
Szabó László (Budapest, József A. g. II. o. t.)
|