Feladat: 684. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Fóthi Ákos ,  Kováts Rózsa 
Füzet: 1961/november, 155 - 156. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1961/február: 684. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A négyzet forgási és tükrözési szimmetriájából és a használt körök sugarának egyenlőségéből nyilvánvaló, hogy a 8 metszéspont egyenlő távolságra van a négyzet középpontjától, tehát a kérdéses nyolcszög köré kört lehet írni. Világos továbbá az is, hogy a nyolcszög oldalai közül a négyzet oldalain fekvő 4 oldal egymás között egyenlő, valamint a köztük fekvő további 4 is. Elég tehát azt belátnunk, hogy a nyolcszög két szomszédos oldala egyenlő, mert így a nyolcszög egyrészt egyenlő oldalú, másrészt körbe írható, tehát szabályos.

 
 

Kössük össze a középpontot a négyzet egy csúcsával és az innen kiinduló oldalak egyikén fekvő nyolcszögcsúcsokkal. A kapott 2 háromszög egyike a nyolcszög körülírt körének középponti háromszöge, tehát egyenlő szárú. A két háromszöget magába foglaló háromszög pedig szerkesztésnél fogva egyenlő szárú. E két egyenlő szárú háromszög hasonló, mert egy szögük közös és ez mindkettőben az alapon levő szög. Ezért a középponti háromszög szárai között akkora szög van, mint a négyzet oldala és átlója között, vagyis 45∘. Mivel pedig ábránk 4-es forgási szimmetriája miatt 2 szomszédos középponti háromszög középponti szögeinek összege 90∘, azért mindegyik középponti szög 45∘-os, a középponti háromszögek egybevágók, és a nyolcszög oldalai egyenlők.
 

Kováts Rózsa (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)

 

II. megoldás. Számítással mutatjuk meg, hogy a nyolcszög bármely két szomszédos oldala egyenlő. Legyen a négyzet oldala c, így átlójának fele c2/2, tehát a négyzetoldalakból a felhasznált körökön kívül eső darab hossza d=c-c2/2=c(2-2)/2. Ebből c=d(2+2), és így a négyzetoldalon fekvő nyolcszögoldal hossza c-2d=d(2+2-2)=d2, ez pedig éppen az átlóval párhuzamos nyolcszögoldal hossza.
A nyolcszög szögei is egyenlők, mert mindegyik mellett 45∘-os külső szög fekszik, a levágott egyenlő szárú derékszögű háromszögek egy‐egy hegyes szöge. Ezek szerint a nyolcszög összes oldalai, valamint összes szögei egyenlők, tehát a nyolcszög szabályos.
 

Fóthi Ákos (Monor, József A. g. II. o. t.)

 

Megjegyzés. Hasonlóan lehet belátni, hogy a felhasznált 4 körnek az oldalak meghosszabbításán levő metszéspontjai ugyancsak egy szabályos nyolcszög csúcsai.