Feladat: 683. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Ambrus Károly ,  Görbe Tamás 
Füzet: 1961/november, 153 - 154. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1961/február: 683. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Természetesen csak olyan x-ekről lehet szó, amelyekkel egyik nevező sem 0, különben a kifejezéseknek nincs értelmük. Ilyen kizárandó érték csak x=2, mert x2+x+1=(x+0,5)2+0,75, tehát mindig pozitív. Így a bal oldali nevezővel szorozva

(x+3)2=A(x2+x+1)+(Bx+C)(x-2)(1)
ugyancsak azonosság. 0-ra redukálva és rendezve:
(A+B-1)x2+(A-2B+C-6)x+(A-2C-9)=0.

Ez csak úgy állhat fenn minden 2-től különböző x-re, ha minden együttható külön‐külön 0, mert különben a bal oldalon egy másodfokú vagy elsőfokú polinom, vagy egy 0-tól különböző állandó lenne, ez pedig csak két, vagy egy helyen illetőleg egy helyen sem lehetne 0-val egyenlő. A feladat követelménye tehát csak akkor teljesülhet, és akkor nyilvánvalóan teljesül is, ha
A+B-1=0,(2)A-2B+C-6=0,(3)A-2C-9=0.(4)


Adjuk hozzá (3)-hoz (2)-nek 2-szeresét és (4)-nek 0,5-szeresét:
3,5A-12,5=0,amibőlA=25/7.
Ebből (2) és (4) alapján B=-18/7, C=-19/7, tehát a keresett azonosság:
(x+3)2(x-2)(x2+x+1)≡257(x-2)-18x+197(x2+x+1).

Ambrus Károly (Budapest, I. László g. II. o. t.)
 

II. megoldás. Az, hogy (1) azonosság, azt jelenti, hogy minden x-re teljesül, amire a két oldalon szereplő kifejezéseknek értelme van. Így x-nek egy tetszés szerinti értéket választva egyenletet kapunk A, B, C-re. Mivel 3 ismeretlenünk van, 3 értéket választunk, lehetőleg olyat, amellyel könnyen számolhatunk. Legyen sorra x=0, 1 és -1, ezekkel
9=A-2C,16=3A-B-C,4=A+3B-3C,(5)
innen pedig ismét a fenti A, B, C-értékhármas adódik.
 

Görbe Tamás (Budapest, Bem J. g. II. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. Nem véletlen, hogy az x=0 helyettesítéssel adódott (5) egyenlet azonos (4)-gyel, hiszen (4)-ben is csak az x-et nem tartalmazó tagokat vettük figyelembe.
2. Az első megoldásbeli meggondolás mutatja, hogy ha a feladatbeli egyenlőség azonosság, akkor (1) minden x-re, még x=2-re is teljesül, ezért a II. megoldásban ezt is használhattuk volna. Ez célszerű is, mert így A-ra mindjárt a 25=7A egyismeretlenes egyenletet kaptuk volna.