Feladat: 682. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ámon Magdolna ,  Baróti Gy. ,  Berecz Ágota ,  Bresztenszky Júlia ,  Corrádi G. ,  Csűrös M. ,  Deák I. ,  Dobó F. ,  Fazekas Patrik ,  Fejéregyházi S. ,  Földeáki Mária ,  Földes I. ,  Garai G. ,  Gáspár Hedvig ,  Gaul G. ,  Gerencsér L. ,  Görbe T. ,  Hirka A. ,  Kászonyi László ,  Kiss G. ,  Kohut J. ,  Kotsis D. ,  Kukovits l. ,  Kultsár L. ,  Kultsár Sz. ,  Lehel Cs. ,  Lehel J. ,  Lipcsey Zs. ,  Malatinszky G. ,  Mátrai M. ,  Meggyes B. ,  Mihályi Z. ,  Molnár L. ,  Nagy Péter ,  Páll A. ,  Rácz L. ,  Raisz M. ,  Sain B. ,  Szekeres Veronika ,  Szidarovszky F. ,  Szigeti F. ,  Szirai J. ,  Szöllősi G. ,  Tamás E. ,  Tamás G. ,  Tasnády Mária ,  Tichy G. 
Füzet: 1961/november, 152 - 153. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1961/február: 682. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1599=1600-1=402-12=39⋅41=3⋅13⋅41, az utolsó alakban mind a három tényező törzsszám. Ezért az N szám akkor és csak akkor osztható 1599-cel, ha 3, 13 és 41 mindegyikével osztható.
N-ről előbb azt kell belátnunk, hogy egész szám, hiszen oszthatóságról csak így lehet szó. Megmutatjuk, hogy a nevező minden tényezőjével lehet egyszerűsíteni. Evégett n! minden tényezőjét törzsszámhatványok szorzatára felbontott alakjában gondoljuk előállítva.
Egy tetszés szerinti p törzsszám a többszöröseinek, a p, 2p, 3p, ... számoknak szorzatfelbontásában lép fel, és csak ezekben. E számok a természetes számok 1, 2, 3, ..., n-1, n, n+1, ... sorozatában (az elejétől számítva) minden p-edik helyet foglalnak el. A többszörösök helyére a p-vel való osztásuk 1, 2, 3, ... hányadosát írva ezekben is találunk p-vel osztható számokat. Ezek p2 többszöröseinek helyén állnak és az eredeti sorozatban az elejétől számítva minden p2-edik helyet foglalnak el, belőlük egy második p-tényező is kiemelhető. Hasonlóan az eredeti sorozat minden p3-ödik, p4-edik, ... számából egy további, vagyis 3-ik, 4-ik, ..., p-tényező is kiemelhető. Ebből nyilvánvaló, hogy a természetes számok sorozatában akárhonnan kiindulva az első p lépésen belül találunk p-vel osztható számot, az első p2, az első p3, ... lépésen belül találunk p2-nel, p3-nel, ... osztható számot.
Írjuk mármost N-et a számláló első 1700 tényezőjével (törzsszám szorzatra való felbontás nélkül) egyszerűsítve az

N=1701⋅1702⋅1703⋅...⋅3399⋅34001⋅2⋅3⋅...⋅1699⋅1700
alakban. Itt a számláló és a nevező egyaránt 1700 egymás utáni tényezőt tartalmaz. Ha p bármely a nevezőben fellépő, vagyis 1700-nál nem nagyobb törzsszám, akkor a fentiek szerint a nevező p tényezőjéhez találunk a számláló első p tényezője között egy p-vel oszthatót, legyen ez q, ezeket p-vel egyszerűsítjük. Hasonlóan a nevező 2p, 3p, ... tényezőjét és a számláló q+p, q+2p tényezőjét is páronként p-vel egyszerűsíthetjük. Ha a nevezőben eredetileg a p2, p3, ... hatvány is fellépett, vagyis p2<1700 , ill. p3<1700, akkor a számláló eredeti tényezői között is volt p2-nel, p3-nel osztható ‐ éspedig ugyanannyi, mint a nevezőben ‐, tehát minden szóbajövő p minden a nevezőben szóbajövő hatványával egyszerűsíthetünk. Így N valóban egész szám.
Ezekkel a feladat tulajdonképpeni megoldását is előkészítettük, már csak ez a kérdés: maradt-e N számlálójából az egyszerűsítés után 3-as, 13-as, 41-es tényező. Kiszámítjuk, hányszor lépett fel tényezőként pl. 41 a számlálóban és hányszor a nevezőben. N eredeti alakjából indulunk ki.
A számlálóban annyi 41-gyel osztható tényező van, amennyi a 3400:41 osztás hányadosának egész része, vagyis 82 (a maradék 38; tehát 3-mal továbbmenve, 3403-ban találnánk ismét 41-gyel osztható számra). Egy‐egy további 41-es tényező 82:41=2 számban szerepel. (Nincs maradék.) Harmadik 41-es tényezőt tartalmazó szám nincs, mert 2:41 egész része 0 (másképpen, mert 413>3400), tehát a 41-es tényezők száma 84. ‐ Hasonlóan az 1700! számban 42, négyzetében 84 db 41-es tényező van. Eszerint N számlálójából az egyszerűsítéssel minden 41-es tényező eltűnik, N nem osztható 41-gyel. Így a 3-as és a 13-as törzsszám vizsgálata nélkül kimondhatjuk, hogy N 1599-cel sem osztható.
 

Kászonyi László (Szombathely, Nagy Lajos g. II. o. t.) dolgozatából, kiegészítéssel.
 

Megjegyzések. 1. A legutóbbi osztások maradékaiban fordított sorrendben megkaptuk a 3400-as szám 41-es alapú számrendszerbeli alakjának számjegyeit: 3400=2⋅412+0⋅41+38. Így azt az n kitevőt, amellyel 41 a 3400!-ban foglaltatik, LEGENDRE idevágó tétele1 alapján is kiszámíthatjuk:
3400-(2+0+38)41-1=336040=84.

Fazekas Patrik (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. II. o. t.)
 

2. Hasonlóan kapjuk, hogy N-ben 3 kitevője 6, 13 kitevője 2.
3. A dolgozatok természetesnek vették, hogy N egész szám, csak néhányan hivatkoztak arra, hol található ennek bizonyítása.2 Ezt nem tekintettük hiánynak, bár többen így válaszoltak: ,,az adott törtszám nem osztható 1599-cel.'' ‐ Sokan helyes választ adtak, de ezt arra alapították, hogy 1599 törzsszám. Ezek hibásak.
1Lásd pl. Kürschák‐Hajós‐Neukomm‐Surányi: Matematikai versenytételek I. rész (Tankönyvkiadó, 1955), 128. o.

2Faragó László: Matematikai szakköri feladatgyűjtemény. Középiskolai szakköri füzet (Tankönyvkiadó 1955) 175. feladat, 21. o.