Feladat: 681. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Fazekas Patrik ,  Lehel Jenő ,  Tamás Géza 
Füzet: 1961/november, 150 - 152. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Irracionális számok és tulajdonságaik, Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1961/február: 681. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindkét számkifejezés 2-ik és 3-ik tagjában a gyökjel alatt ún. ,,kapcsolt'' kifejezések állnak, amelyeknek szorzata racionális, éppen 1-gyel egyenlő. Ezért várható, hogy ha kifejezéseinket

2-(2+3-2-3),6-(2+3+2-3)
alakban írjuk és a zárójelbeli kéttagúakat négyzetük négyzetgyökével pótoljuk, egyszerűbb kifejezést kapunk. Valóban
(2+3∓2-3)2=2+3∓21+2-3=4∓2,
vagyis 2, ill. 6, tehát a zárójel értéke 2, ill. 6. Így pedig mindkét szám 0-val egyenlő, nincs előjele.
 

Tamás Géza (Makó, József A. g. I. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. A zárójelbeli kéttagúak helyére az ismert
A±B=A+A2-B2±A-A2-B2
azonosság‐pár1 felhasználásával egytagúakat írhatunk, ugyanis
A+B∓A-B=2A∓A2-B2.
Esetünkben A=2, B=3, ezért A2-B=1, tehát a jobb oldalon 2, ill. 6 áll.
 

Lehel Jenő (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)
 

2. Ha a belső gyökjelek alatt álló ,,3'' szám helyett x-et írunk, kifejezéseink x függvényei:
y1=2+2-x-2+x,y2=6-2-x-2+x.
Értéküket x=0 és x=4 mellett könnyen megkapjuk. Azt találjuk, hogy az előbbi helyen y1 pozitív, y2 negatív, az utóbbin pedig megfordítva, vagyis mindkét függvény grafikonjában az x=0 és x=4-hez tartozó pontok az X-tengely ellentétes oldalán vannak. Kézenfekvő azt gondolni, hogy y1 és y2 folytonosan változnak, tehát x=0 és x=4 között minden a talált két‐két érték közti értéket felvesznek (esetleg még mást is), így a 0-t is. (Szemléletesen: grafikonjuk folytonos vonal, és így valahol átmetszi az X-tengelyt.) Ha tudnánk, hogy y1 és y2 a 0 értéket x=0 és x=4 között csak egyszer veszik fel, akkor ez az x érték a 0-tól 4-ig terjedő számközt olyan két részre vágná szét, amelyek egyikében a függvény pozitív, a másikban negatív, tehát előjele könnyen megállapítható. Megkeresve, hogy mely x-ekre teljesülhet y1=0, ill. y2=0 (vagyis megoldva x-re ezt a két egyenletet), azt kapjuk, hogy mindkét függvényre csak az x=3 hely jöhet szóba. Itt függvényeink értéke éppen a két adott számkifejezés. Ha tehát a függvények folytonosságáról tett feltevésünk helyes, akkor x=3-ra y1=0 és y2=0.
E meggondolás helyességét azonban csak a középiskolában tanultaknál mélyebb fogalmakkal és ismeretekkel lehet belátni. A gondolatmenet a fentinél bonyolultabb formában Fazekas Patrik (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. II. o. t.) dolgozatában szerepel, ő a ,,2'' szám helyett is változót írt.
1Lásd pl. Faragó L.: Matematikai szakköri feladatgyűjtemény. Középiskolai Szakköri Füzetek. (Tankönyvkiadó 1955.) 71. o. 80. feladat.