Feladat: 675. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Doskar Balázs ,  Hallósy Katalin ,  Szaniszló Mária ,  Szilágyi Tibor 
Füzet: 1961/november, 147. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1961/január: 675. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A számláló tagjai úgy állíthatók párokba, hogy a párok kitevőinek különbségei egyenlők (1-et x0 alakban írva): 8-5=7-4=3-0=3. Eszerint ‐ és az együtthatókra is, tekintettel ‐ a számlálóból x3-1 kiemelhető:

(x8-x5)+(x7-x4)+(x3-1)=(x3-1)(x5+x4+1).
A nevező pedig:
x4(x2-1)+(x-1)=(x-1)[x4(x+1)+1]=(x-1)(x5+x4+1),
eszerint x5+x4+1 közös tényezőjük. Ismeretes továbbá, hogy x3-1=(x-1)(x2+x+1), így x-1-gyel is egyszerűsítve az adott kifejezés x2+x+1-gyel egyenlő, minden olyan x-re, amelyre az eredeti nevező nem 0.
 

Hallósy Katalin (Szeged, Radnóti M. g. I. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. x=1 esetén x-1=0, és ezért az egyszerűsítésnek nincs értelme, de magának a kifejezésnek sincs, hiszen ekkor a számláló és a nevező mindegyike 0. Úgyszintén akkor sincs, ha x6+x4+1=0. Ilyen x van, éspedig -2 és -1 között, mert x=-2-re a bal oldal értéke -15<0, x=-1-re pedig +1>0.
 

Szaniszló Mária (Debrecen, Mechwart A. gépip. t. I. o. t.)
 

2. A nevezőből is kiemelhető x3-1, ugyanis: (x6-1)-(x4-x)=(x3-1)(x3+1-x). Így azonban a számlálóról csak bonyolultabb átcsoportosítás után látjuk, hogy osztható x3-x+1-gyel, mert x5+x4+1=(x2+x+1)(x3-x+1).
 

Doskar Balázs (Budapest, Piarista g. I. o. t.)
 

II. megoldás. Megpróbálhatjuk az egyszerűsítést avval megkönnyíteni, hogy a számlálót osztjuk a nevezővel, és majd csak a maradék és a nevező hányadosát egyszerűsítjük. Az osztás 0 maradékra és x2+x+1 hányadosra vezet, tehát kifejezésünk ezzel az egyszerűbb kifejezéssel egyenlő.
 

Szilágyi Tibor (Ózd, József A. g. I. o. t.)