Kezdőlap


Feladat:	674. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bod Katalin , Gaul Géza
Füzet:	1961/november, 145 - 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/január: 674. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Megmutatjuk, hogy $x$ - és $y$ -nak nemnegatív egész értékeket adva (1) bal oldalával bármely 7-nél nagyobb egész szám előállítható. $x = 0$ -val $k = 3 y$ , tehát $k = 0$ , 3, 6, 9, 12, $...$ , azaz minden 3-mal osztható nemnegatív szám előállítható. $x = 1$ -gyel $k = 3 y + 5 = 3 (y + 1) + 2$ , tehát $k = 5$ , 8, 11, $...$ , azaz minden egész szám előállítható, amely 3-mal osztva maradékul 2-t ad és 5-nél nem kisebb. Végül $x = 2$ -vel $k = 3 y + 10 = 3 (y + 3) + 1$ , tehát $k = 10$ , 13, 16, $...$ , azaz minden számot megkapunk, amely 3-mal osztva maradékul 1-et ad és 10-nél nem kisebb.
Minden egész szám vagy osztható 3-mal, vagy pedig a 3-mal való osztásnál a maradéka 2, vagy 1, ezért minden természetes számot megkapunk a 2,és az 1, 4, 7 kivételével. Ezeket nagyobb $x$ -értékekre sem kaphatjuk meg, mert ha $x = 3 l + r$ , ahol $l ≧ 1$ és $r = 0$ , 1 vagy 2, akkor $5 x + 3 y = 5 r + 3 (y + 5 l) = 5 r + 3 y'$ , ahol $y' = y + 5 l > y ≧ 0$ , tehát $5 x + 3 y$ előfordul a felírt három számsorozat valamelyikében.
A négy kiemelt szám legnagyobbika 7, tehát valóban minden a 7-nél nagyobb egész $k$ számhoz van olyan nemnegatív egész $x$ , $y$ számpár, amellyel (1) teljesül.
Ha csak pozitív egész értékeket engedünk meg $x$ és $y$ részére, akkor $x = 1$ , 2, 3-mal $k = 3 y + 5$ , $3 y + 10$ , ill. $3 y + 15$ -ből $y = 1$ , 2, 3, $...$ mellett a

\begin{matrix} k = 8,11,14,17, ...; \end{matrix}

értékeket kapjuk meg, és nem kapjuk meg e sorozatok visszafelé való folytatásának számait, így a természetes számok közül az 5, 2; 10, 7, 4, 1; 15, 12, 9, 6, 3 számokat. Ezek legnagyobbika 15, ez a keresett érték.

Bod Katalin (Miskolc, Herman O. lg. II. o. t.)

II. megoldás. (1)-ből

\begin{matrix} y = \frac{k - 5 x}{3} = \frac{k - 6 x + x}{3} = - 2 x + \frac{k + x}{3} = - 2 x + u, \end{matrix}

ahol

u

egész szám, mert

y

és

- 2 x

egészek.

\begin{matrix} u = \frac{k + x}{3} -ból \\ x = 3 u - k, és így & (2) \\ y = - 2 (3 u - k) + u = - 5 u + 2 k . & (3) \end{matrix}

A (2), (3) képletpár bármely egész

k

mellett, és tetszés szerinti egész

u

értéket választva egy

x

y

egész megoldását adja (1)-nek.
Ámde

x

y

-ra csak nemnegatív, ill. csak pozitív egész számokat engedünk meg, így

u

értéke korlátozott.
Az

x ≧ 0

y ≧ 0

követelésből

\begin{matrix} 3 u - k ≧ 0, - 5 u + 2 k ≧ 0, azaz u ≧ k / 3, u ≦ 2 k / 5, \end{matrix}

összefoglalva

\begin{matrix} \frac{k}{3} ≦ u ≦ \frac{2 k}{5}, amiből \\ 5 k ≦ 15 u ≦ 6 k . & (4) \end{matrix}

Eszerint adott

k

mellett csak akkor található megfelelő

u

-érték, ha egyrészt

5 k ≦ 6 k

, vagyis

k ≧ 0

, másrészt

5 k

és

6 k

közé esik 15-tel osztható szám, a számegyenes

5 k

és

6 k

pontjai közé egy

15

-tel osztható szám képe ‐ a végpontokat megengedve.
Ha pedig

x > 0

y > 0

, akkor (az ,,

=

'' jelek elhagyásával a megoldhatóság feltétele)

5 k < 15 u < 6 k

, vagyis a 15-tel osztható szám képének az (

5 k

6 k

) szakasz belsejébe kell esnie. E szakasz hossza

6 k - 5 k = k

, ezért nyilvánvaló, hogy

k > 15

esetén legalább egy 15-tel osztható szám képe esik a belsejébe, mert az ilyen számokat ábrázoló pontok közti legrövidebb távolság 15 egység.

k = 15

esetén viszont maguk

5 k

és

6 k

a 15-tel oszthatók, nincs megfelelő

u

, ezért (1)-nek nincs megoldása. Eszerint a második kérdésben keresett egész szám: 15.
Most már az első kérdésre elég a

k = 8

, 9,

...

, 15 számokra megmutatnunk a feltétel teljesülését. Valóban, ha

\begin{matrix} k = 8, & 9, & 10, & 11, & 12, & 13, & 14, & 15, & akkor \\ 5 k = 40, & 45, & 50, & 55, & 60, & 65, & 70, & 75, \\ 6 k = 48, & 54, & 60, & 66, & 72, & 78, & 84, & 90, & és így megfelel: \\ 15 u = 45, & 45, & 60, & 60, & 60, & 75, & 75, & 75. \end{matrix}

Pl.

15 u = 45

, azaz

u = 3

-mal

k = 9

mellett (2) és (3)-ból

x = 0

y = 3

k = 7

-re viszont az

(5 k,6 k) = (35,42)

számköz a végpontjait is hozzászámítva sem tartalmazza 15-nek egy többszörösét sem.

Gaul Géza (Budapest, József A. g. II. o. t)