Kezdőlap


Feladat:	672. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Böszörményi Katalin , Csűrös Miklós , Dudás Margit
Füzet:	1961/november, 144. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/január: 672. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $K$ kifejezés sokféleképpen átalakítható. Bemutatunk néhányat.
I. megoldás. Ismert azonosságok felhasználásával, kiemeléssel, majd az $a + b$ tényező helyett mindjárt 1-et írva az adott $K$ kifejezés értéke 1-nek adódik:

\begin{matrix} K = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) + 3 a b (a^{2} + b^{2}) + 6 a^{2} b^{2} (a + b) = a^{2} - a b + b^{2} + \\ + 3 a b [{(a + b)}^{2} - 2 a b] + 6 a^{2} b^{2} = {(a + b)}^{2} - 3 a b + 3 a b (1 - 2 a b) + 6 a^{2} b^{2} = 1. \end{matrix}

Dudás Margit (Szeged, Tömörkény I. lg. I. o. t.)

II. megoldás.

K

három részlete rendre 3-ad-, 4-ed-, ill. 5-ödfokú, de a feltevés alapján 3-adfokúvá alakítható. Ugyanis

a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2} = a + b

, ezért

\begin{matrix} K = (a^{3} + b^{3}) + 3 a b [a^{2} + b^{2} + 2 a b (a + b)] = (a^{3} + b^{3}) + 3 a b (a^{2} + b^{2} + \\ + 2 a b) = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b) = {(a + b)}^{3} = 1. \end{matrix}

Böszörményi Katalin (Budapest, Szilágyi E. lg. I. o. t.)

III. megoldás. Az első részletet

1 = a + b

-vel szorozva

K

-t 4-edfokúnak is írhatjuk, majd felismerhetjük

{(a + b)}^{4}

kifejtésének tagjait:

\begin{matrix} K = (a + b) (a^{3} + b^{3}) + 3 a^{3} b + 3 a b^{3} + 6 a^{2} b^{2} (a + b) = a^{4} + b^{4} + 4 a^{3} b + 4 a b^{3} + \\ + 6 a^{2} b^{2} = {(a + b)}^{4} = 1^{4} = 1. \end{matrix}

Csűrös Miklós (Nagykőrös, Arany J. g. II. o. t.)