Feladat: 671. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Baróti György ,  Bor Edit ,  Corrádi G. ,  Csűrös M. ,  Csűrös Miklós ,  Dobó F. ,  Dudás Margit ,  Földes I. ,  Gáspár H. ,  Gazsó J. ,  Görbe T. ,  Kádár L. ,  Kántor L. ,  Kászonyi L. ,  Kiss G. ,  Lehel J. ,  Malatinszky G. ,  Prépostffy E. ,  Resofszky G. ,  Somfalvi J. ,  Strobl Ilona ,  Szidarovszky F. ,  Szilágyi Mária ,  Szirai J. ,  Tamás G. ,  Tasnády M. ,  Timár Gy. ,  Várkonyi S. ,  Veress Z. 
Füzet: 1961/november, 143 - 144. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Alakzatba írt kör, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/december: 671. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a keresett háromszög ABC ‐ ahol AB=AC ‐, a beírt kör érintési pontjai az oldalakon A', B', C' ‐ tehát A'B=A'C, B'C'BC és B'C'=h, végül a B-ből húzott magasság talppontja B1 ‐ tehát BB1=m.

 
 

‐ Az érintés folytán CB'=CA'=CB/2, ezért B'-nek BC-n levő vetületét B''-vel jelölve a C-nél közös szöggel bíró CBB1 és CB'B'' derékszögű háromszögek hasonlók. Ebből B'B'':BB1=B'C:BC=1:1, és így B'B''=m/2, továbbá A'B''=h/2. Eszerint a BC=a egyenes és rajta az A' pont helyzetét megválasztva megszerkeszthetjük B''-t, ebből B'-t, C'-t és a beírt k kört. Ennek B'-ben és C'-ben húzott érintői és az a egyenes határolta háromszög a keresett háromszög.
B'C' és k tetszőleges m és h mellett megszerkeszthetők, az ABC háromszög azonban nyilván csak akkor felel meg, ha a-nak ugyanazon oldalán van, mint k, ez pedig akkor következik be, ha B'C' messzebb van a-tól, mint k sugara, ϱ, azaz ha m/2>ϱ. És mivel h/2 kisebb ϱ-nál, azért a háromszög megfelel, ha m>h. Az ellenkező esetben a két érintő vagy párhuzamos, vagy k a keletkező háromszögnek külső érintő köre. Ha van, akkor 1 megoldás van.
BC-t a-val jelölve CB''=(a-h)/2, és az említett hasonlóság alapján CB1=a-h. Így a BCB1 háromszögre Pythagorász tételét alkalmazva
a2=m2+(a-h)2,ahonnana=m2+h22h.

A BCB1, ACA' háromszögek hasonlóságából a szár, a tengely, majd a terület, a kerület és k-nak ϱ sugara így számítható:
AC=b=A'CB1CBC=a22a-2h=(m2+h2)24h2(m2+h2h-2h)=(m2+h2)24h(m2-h2),AA'=A'CB1CBB1=am2a-2h=m(m2+h2)2(m2-h2),t=12bm=(m2+h2)28h(m2-h2),2s=a+2b=m2(m2+h2)h(m2-h2),ϱ=ts=m2+h24m.



Végül a k1 körülírt kör középpontját K-val, az AC szár felezőpontját B0-lal jelölve a KAB0 és CAA' derékszögű háromszögek hasonlóságából:
KA=r=AB0AA'AC=(m2+h2)316mh2(m2-h2).
 

Baróti György (Budapest, I. István g. II. o. t.)