|
Feladat: |
671. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Baróti György , Bor Edit , Corrádi G. , Csűrös M. , Csűrös Miklós , Dobó F. , Dudás Margit , Földes I. , Gáspár H. , Gazsó J. , Görbe T. , Kádár L. , Kántor L. , Kászonyi L. , Kiss G. , Lehel J. , Malatinszky G. , Prépostffy E. , Resofszky G. , Somfalvi J. , Strobl Ilona , Szidarovszky F. , Szilágyi Mária , Szirai J. , Tamás G. , Tasnády M. , Timár Gy. , Várkonyi S. , Veress Z. |
Füzet: |
1961/november,
143 - 144. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Alakzatba írt kör, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1960/december: 671. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a keresett háromszög ‐ ahol ‐, a beírt kör érintési pontjai az oldalakon , , ‐ tehát , és , végül a -ből húzott magasság talppontja ‐ tehát .
‐ Az érintés folytán , ezért -nek -n levő vetületét -vel jelölve a -nél közös szöggel bíró és derékszögű háromszögek hasonlók. Ebből , és így , továbbá . Eszerint a egyenes és rajta az pont helyzetét megválasztva megszerkeszthetjük -t, ebből -t, -t és a beírt kört. Ennek -ben és -ben húzott érintői és az egyenes határolta háromszög a keresett háromszög. és tetszőleges és mellett megszerkeszthetők, az háromszög azonban nyilván csak akkor felel meg, ha -nak ugyanazon oldalán van, mint , ez pedig akkor következik be, ha messzebb van -tól, mint sugara, , azaz ha . És mivel kisebb -nál, azért a háromszög megfelel, ha . Az ellenkező esetben a két érintő vagy párhuzamos, vagy a keletkező háromszögnek külső érintő köre. Ha van, akkor 1 megoldás van. -t -val jelölve , és az említett hasonlóság alapján . Így a háromszögre Pythagorász tételét alkalmazva | |
A , háromszögek hasonlóságából a szár, a tengely, majd a terület, a kerület és -nak sugara így számítható:
Végül a körülírt kör középpontját -val, az szár felezőpontját -lal jelölve a és derékszögű háromszögek hasonlóságából: | |
Baróti György (Budapest, I. István g. II. o. t.) |
|
|