Kezdőlap


Feladat:	670. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bárdy Gyula , Dudinszky Ilona , Lehel Jenő
Füzet:	1961/november, 141 - 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Alakzatba írt kör, Derékszögű háromszögek geometriája, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/december: 670. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szokásos jelölésekkel az $A B C$ háromszög belsejében a $ϱ / 2$ sugarú $k$ kör egy oldal mentén addig tolható, míg az egyik szomszédos oldallal is érintkezésbe jut, pl. a $C A$ oldal mentén $A$ felé addig, míg $A B$ -t $A_{2}$ -ben érinti. Legyen $k$ ezen $k_{a}$ helyzetének középpontja $K_{a}$ és $C A$ -n levő érintési pontja $A_{1}$ . Ekkor $k$ nem súrolhatja a körív és érintői határolta konkáv $A_{1} A A_{2}$ idom területét.

Az ábra további hasonló jelöléseit használva a súrolt idom a körívek és egyenesszakaszok határolta konvex

A_{1} A_{2} B_{1} B_{2} C_{1} C_{2} = H

idom. Ennek

t_{s}

területét úgy kaphatjuk, hogy az

A B C ▵

t

területéből kivonjuk az

A A_{2} A_{1}

B B_{2} B_{1}

C C_{2} C_{1}

konkáv idomok területének összegét. Ugyanis

k

-t egy‐egy háromszögoldal mentén gördítve a súrolt idomnak az oldaltól legtávolabb levő pontjai az oldaltól átmérőnyi, vagyis

ϱ

távolságra vannak. A kör tehát

H

-nak csak olyan pontjait nem súrolná, amelyek mindhárom oldaltól

ϱ

-nál nagyobb távolságra vannak. A háromszög belsejének a kerülettől legtávolabbi pontja azonban a beírt

k_{0}

kör

O

középpontja, amely mindhárom oldaltól

ϱ

távolságra van, tehát

k

H

idom minden pontját súrolja.

k_{0}

-nak az oldalakon levő érintési pontjait

A'

B'

C'

-vel jelölve a nem súrolt görbevonalú háromszögek rendre hasonlók a

k_{0}

-on kívül eső

B' A C'

C' B A'

A' C B'

idomokhoz, mert hasonló helyzetűek azokhoz, a hasonlóság középpontja rendre

A

B

C

. A megfelelő szakaszok aránya mindenütt

K_{a} A_{1} : O B' = 1 : 2

, ezért a területek aránya

1 : 4

. Eszerint a

k

által nem súrolt háromszögek együttes területe negyedrésze annak a területnek, amely az

A B C

háromszögből a beírt kör elvétele után marad, vagyis

\begin{matrix} \frac{1}{4} (t - ϱ^{2} π) = \frac{t}{4} - {(\frac{ϱ}{2})}^{2} π . \end{matrix}

(1)

Ennélfogva a súrolt terület

\begin{matrix} t_{s} = \frac{3 t}{4} + {(\frac{ϱ}{2})}^{2} π = \frac{3 a b}{8} + {(\frac{a + b - c}{4})}^{2} π, \end{matrix}

ugyanis a beírt kör átmérője

\begin{matrix} 2 ϱ = O A' + O B' = B' C + A' C = (A C - A B') + (B C - B A') = \\ = A C + B C - (A C' + B C') = B C + A C - A B = a + b - c . \end{matrix}

Ugyancsak hasonlók a

K_{a} K_{b} K_{c}

és

A B C

háromszögek is, mert megfelelő oldalaik párhuzamosak; a megfelelő szakaszok aránya

1 : 2

, mert pl. a beírt körök sugarainak ez az aránya. Ezért a súrolt idomot határoló egyenes szakaszok összege

A_{2} B_{1} + B_{2} C_{1} + C_{2} A_{1} = K_{a} K_{b} + K_{b} K_{c} + K_{c} K_{a} = (A B + B C + C A) / 2 = (a + b + c) / 2

, a körív darabok összege

\hat{A_{1} A_{2}} + \hat{B_{1} B_{2}} + \hat{C_{1} C_{2}} = (\hat{B' C'} + \hat{C' A'} + \hat{A' B'}) / 2 = 2 ϱ π / 2 = ϱ π

, tehát a teljes kerület

\begin{matrix} \frac{a + b + c}{2} + \frac{a + b - c}{2} π . \end{matrix}

Dudinszky Ilona (Budapest, Budai Nagy A. g. II. o. t.)

Megjegyzések. 1.

t_{s}

-t úgy is számíthattuk volna, mint a

K_{a} K_{b} K_{c}

háromszög, a

K_{a} A_{2} B_{1} K_{b}

K_{b} B_{2} C_{1} K_{c}

K_{c} C_{2} A_{1} K_{a}

téglalapok és az együttesen

k

-t kitevő

K_{a} A_{1} A_{2}

K_{b} B_{2} B_{1}

K_{c} C_{1} C_{2}

körcikkek területének összegét.

Bárdy Gyula (Sopron, Kempelen F. gépip. t. II. o. t.)

2. Meggondolásunk bármely háromszögre érvényes. A háromszög derékszögű volta csak

ϱ

és a terület egyszerűbb kifejezését tette lehetővé.

Lehel Jenő (Budapest, Apáczai Csere J. gyak g. II. o. t.)