Kezdőlap


Feladat:	668. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas Klára
Füzet:	1961/október, 75. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paralelogrammák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/december: 668. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az $A B C D$ paralelogramma $A$ és $B$ szögeinek felezői $E$ -ben metszik egymást, akkor az $A B E$ háromszög $E$ -nél derékszögű, mert

\begin{matrix} E A B ∢ + E B A ∢ = \frac{1}{2} (D A B ∢ + C B A ∢) = \frac{1}{2} \cdot 180^{\circ} = 90^{\circ} . \end{matrix}

A további metszéspontokat

F

G

H

-val jelölve az

E F G H

négyszögben hasonlóan minden szög derékszög. Ezt kellett bizonyítanunk.

Rombuszban (tehát négyzetben is) a szögeket éppen az átlók felezik, így az

E F G H

téglalap elfajul a rombusz középpontjává.
Messe a

B A D

szög felezője a

C D

oldalt

J

-ben. Ekkor

A J D ∢ = J A B ∢ = J A D ∢

(mert váltószögek, ill. feltevésnél fogva), ezért az

A J D

háromszög egyenlő szárú, az

A D J \equiv A D C

szög felezője

H

-ban felezi az

A J

alapot, ezért

H

-egyenlő távol van az

A B

C D

oldalaktól. Ugyanígy

F

is az

A B C D

négyszög

A B

-vel párhuzamos középvonalán van, tehát a

H F

átló párhuzamos

A B

-vel és

F H E ∢ = B A J ∢ = B A D ∢ / 2

. Ha már most az

E F G H

négyszög négyzet, akkor

F H E ∢ = 45^{\circ}

, tehát

B A D ∢ = 90^{\circ}

. Eszerint négyzet akkor keletkezik, ha egyenlőtlen oldalú derékszögű négyszögből, vagyis téglalapból indultunk ki.

Farkas Klára (Eger, Gárdonyi G. g. II. o. t.)

Megjegyzés. A legtöbb dolgozat azt igazolta, hogy téglalap szögfelezői négyzetet adnak. Ezen felül még lehetnének más ilyen paralelogrammák is !