Feladat: 665. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Baróti Gy. ,  Berendi Emma ,  Bresztyenszky Júlia ,  Corrádi G. ,  Csűrös M. ,  Dobó F. ,  Fazekas P. ,  Fejéregyházy S. ,  Gaál B. ,  Gazsó J. ,  Gerencsér L. ,  Gyüre Zsuzsanna ,  Gönczy J. ,  Görbe T. ,  Kohut J. ,  Lehel J. ,  Lipcsey Zsolt ,  Mátrai M. ,  Mocskonyi Zs. ,  Nagy Péter ,  Szidarovszky F. ,  Szirai J. ,  Tasnády Mária ,  Tihanyi L. 
Füzet: 1961/november, 139 - 141. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számelmélet alaptétele, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/december: 665. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tetszés szerinti jegyet j-vel jelölve a 3333j¯ alak j=0, 1, 2, ... 9-cel tíz egymás utáni természetes számot ad meg. Négyzetüket a legkisebb 333302=1110888900=N-ből kiindulva az

(n+1)2=n2+[n+(n+1)](1)
azonosság alapján egymás után könnyen képezhetjük. A szögletes zárójelbeli d hozzáadandó értéke az első lépésben 33330+33331=66661, lépésenként 1+1=2-vel növekszik: 66663, 66665, ..., és az utolsó (a 9-ik) lépésben 33338+33339=66677-et tesz ki. Mindegyik érték kisebb 105-nél, a 9 növelés összege kisebb 106-nál, ezért a legnagyobb számra 333392<N+106=1111888900. Eszerint valamennyi négyzet az 111 jegyhármassal kezdődik, az állításnak megfelelően. E három jegy felírását az (1) szerinti képezésben mellőzve az egymás utáni négyzetek utolsó 7 jegye rendre:
 


0888900,+66661,=0955561,+66663=   1022224,+66665==1088889, s. í. t.1155556,1222225,1288896,1355569,1422244,1488921.

 


Valóban mind a tízben van két szomszédos egyező számjegy: az ezres és a tízezres értékű helyen álló jegy, sőt az utolsó kivételével e két jeggyel legalább egyik szomszédjuk is egyezik (az első négyzet kivételével a százas helyen álló jegy mindig, az elsőben pedig a százezres értékű). ‐ Eszerint a f=9 eset kivételével minden 3333j2¯-ben van két legalább 3-tagú, egymás utáni egyező jegyekből álló számjegy‐sorozat, sőt j=2, 3, 4 és 5-re mindkét sorozat legalább 4-tagú.
A 6666j2¯ számokra az előzők alapján már kevesebb számítással célhoz érünk M=666602=(2⋅33330)2=4⋅1110888900=4443555600 első három jegye 4-es, és ez minden 6666j2¯-ben fennáll, ha j=1, 2, ..., 9, mert legnagyobbjukra: 666692<666702=(2⋅33335)2=4⋅1111222225=4444888900. ‐ Egyenlők e számok ezres és tízezres jegyei is. Ezt M-ben közvetlenül látjuk, j=1, 2, ..., 9-re pedig abból, hogy a 66661, ..., 66669 számok n=33339, ..., 33331-gyel páronként 105-t adnak összegül, márpedig a
(105-n)2=(105-2n)105+n2
azonosság szerint n2 és (105-n)2 utolsó öt jegye ugyanaz, e két szám a jobb oldal első tagja szerint csak a 105 és magasabb értékű helyeken álló jegyekben különbözhet. ‐ Eszerint a 333392-nek megfelelő 666612 kivételével minden 6666j2¯-ben van két legalább háromtagú, a követelményeknek eleget tevő számjegysorozat.
Még egyszerűbb a harmadik négyzetsorozat esete. Ugyanis 9999j2¯=(100000-j')2=(105-j')2=(105-2j')105+j'2, ahol j'=10, 9, 8, ..., 2, 1. Így j'2≦100, ezért az első öt helyre csak a 105-2j'=99980, 99982, ..., 99998 számok jegyei jönnek szóba, tehát legalább az első három jegy 9-es. A további öt helyen j'2 áll, felírásához legfeljebb három jegy kell, tehát az ezres és a tízezres jegy 0, sőt a j'=10 eset kivételével a százas értékű jegy is. j'=10 esetén viszont a százezres jegy is 0, tehát e sorozat négyzetei kivétel nélkül két legalább 3 tagú egyenlő jegyekből álló jegysorozatot tartalmaznak.
Megmutatjuk, hogy a 3333j2¯ számokban látott ismétlődések az alap jegyei közti ismétlődés következményei, és evvel párhuzamosan a b) állítást is bebizonyítjuk. L=999902=9998000100-ból indulunk ki, ebben már láttuk a 9-es és 0 jegyek ismétlődésének okát. Mivel 33330=99900:3, azért N-et az L:32=L:9 osztásból is számíthatjuk. Részletes felírás nélkül látjuk, hogy a hányados első három jegye 1-es, a negyedik 0; ez után három egymás utáni lépésben a részletosztandó 80, a hányados új jegye 8, és a maradék is 8; majd a 81-es részletosztandóból N-be egy 9-est kapunk, végül két 0 zárja be N jegyeinek sorát.
Általában (k>2 esetén) a k számú 9-es után egy 0-sal írt szám négyzete
L*=99...902︸k=(10k+1-10)2=102k+2-2⋅10k+2+102==(10k-2)10k+2+102.
Itt 10k-2 az a k jeggyel írt szám, melynek első k-1 jegye 9-es, az utolsó pedig 8-as. Erre a 10k+2 tényező miatt k+2 számú 0 következnék, de ezt a sorozatot a 102 tag 1-ese megszakítja, 3 jeggyel k-1 tagúra rövidíti, tehát
L*=99...9︸k-1800...0︸k-1100.
(k-1>1, ezért lehet ismétlődésről beszélni). ‐ Mármost a k számú 3-as után egy 0-sal írt szám négyzete L*-nak 1/9 része. A k=4 eset fenti mintájára nyilvánvaló, hogy az L*/9 hányadosban k-1 számú 1-es után egy 0 lép fel, ezeket k-1 számú 8-as, egy 9-es és két 0 követi:
N*=33...302︸k=11...1︸k-1088...8︸k-1900.

Feltűnő, hogy a 3333j2¯ számok fenti elrendezésének első oszlopában, vagyis a j=0, 3, 6, 9 értékekre az ezres és tízezres helyen ugyanaz a jegy, a 8-as ismétlődik. Ez az
(n+3)2=n2+[3n+3(n+3)]
azonossággal magyarázható. Ugyanis 3n+3(n+3)=d' értéke rendre 99990+99999=199989=2⋅105-11, ill. 2⋅105+7 és 2⋅105+25, vagyis a növelés kerek százezrestől csak ,,kicsit'' tér el. Így a megfelelő négyzetek között csak a 105 és esetleg a 106, másrészt az 1, 10 és esetleg a 102 értékű jegyekben van különbség, de a 103 és 104 értékű jegyekben nincs, ugyanis az N utolsó három jegyével írt 900 egyrészt nagyobb a d' első értékében szereplő 11-es kivonandónál, másrészt a három d' érték 6⋅105+21 összegében szereplő 21-gyel növelve sem éri el 108-t. Mivel N ezres jegye éppen 1-gyel kisebb a százasánál, azért a -11 tag hozzáadásával j=3 esetén a százas is egyezik az ezressel, ugyanígy j=6-nál is, mert -11+7<0; de már j=9-nél a százas jegy ismét nagyobb az ezresnél, mert -11+7+25>0. Ezért van, hogy j=9 esetén a második jegysorozat csak 2 tagú.
A 333312-ben fellépő 555 jegysorozatbeli ismétlődést az magyarázza, hogy N ezres jegye 1-gyel kisebb a százasnál, és ezt a hiányt a d=66661 százasának hozzáadásakor fellépő 1 maradék (9⋅102+6⋅102=15⋅102=1⋅103+5⋅102) kiegyenlíti és ez a tízezresben is megismétlődik. Hasonlóan 333322 azért örökli a 102, 103 és 104 értékű jegyek megegyezését 333312-től, mert ebben a százas helyen álló 5 is 1-gyel kisebb a tízes helyen álló 6-nál, és ezt a hiányt d=66663 hozzáadásakor a tízes oszlopból fellépő 1 maradék kiegyenlíti.
Ezek alapján megérthető a fenti elrendezés 2-ik és 3-ik oszlopában az 5-ös, ill. 2-es jegyek ismétlődése. Ugyanis a j=1, 4, 7-hez és j=2, 5, 8-hoz tartozó négyzeteken végigmenve d' értékében 2⋅105 után második tagként hozzá képest ismét kicsi tagok lépnek fel: -5 és +13, ill. +1 és +19. Ezért marad változatlanul a 104, 103, 102 helyen álló 555, ill. 222 jegyhármas, továbbá mert 61>5 és 61-5+13<102, ill. 24+1+19<102, ahol 61 és 24 a 333312 és 333322 utolsó két jegyével írt szám.
Mármost a 8-as, 5-ös, ill. 2-es jegyek sorozatai N*-ból a 33...3j2¯,1≦j≦9 számokra is átöröklődnek, mert az alapban a 3-asok, az első két d-ben a 6-osok és N*-ban a 8-asok száma ugyanannyival változik: 4-ről k-ra, ill. 3-ról k-1-re, és e jegysorozatok is ugyanazon értékű helyen végződnek, mint k=4 esetén; továbbá a d'-beli 2⋅105 tag 2⋅10k+1-re változik, ugyanis pl. a legkisebb tagban
99...90︸k+99...99︸k+1=(10k+1-10)+(10k+1-1)=2⋅10k+1-11.
E jegysorozatok jegyeinek száma a 3-nak megfelelő k-1, csupán a 33...392-ben a 2-nek megfelelő k-2.
A négyzetek elején álló 1-esek k-1 tagú sorozata pedig azért öröklődik át N*-ból, mert a kilenc d mindegyike kisebb 10k+1-nél, összegük kisebb 10k+2-nél, és így N* közbülső 0 jegye helyére is legfeljebb 1-es léphet.
Ezek szerint 33...392-ben egy k-tagú és egy k-2-tagú egymás utáni egyenlő jegyekből álló számjegysorozat lép fel, a többi kilenc négyzetben pedig mindkét jegysorozat tagjainak száma legalább k-1. 33...302-ben a második jegysorozat 1-gyel magasabb értékű helyen kezdődik és végződik, mint a többi nyolcban.
 

Összeállítva: Gyüre Zsuzsanna (Szeged, Tömörkény I. lg. I. o. t.),MMMM

Bresztyenszky Júlia (Budapest, Kossuth L. gépip. t. II. o. t.)

és Lipcsey Zsolt (Budapest, Petőfi S. g. II. o. t.) dolgozataiból.