A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Előzetes megjegyzés. Kézenfekvő az a bizonyítás, melyben mindhárom kifejezést polinom alakra hozzuk, és rámutatunk, hogy így tagról tagra megegyeznek. Alább ennél rövidebb megoldásokat mutatunk be. I. megoldás. Az első és a második kifejezésből úgy kapjuk a következőt, és a harmadikból is az elsőt, hogy minden helyébe -t, minden , ill. helyébe -t, ill. -t írunk, röviden mondva: , , -t ciklikusan felcseréljük. Ebből következik, hogy a három kifejezés akkor és csak akkor azonos, ha bármelyikük polinom alakja az említett cserékkel önmagába megy át. Így már elég egyiküket polinommá alakítani: Az elsőből
Itt a jobb oldal , , ciklikus felcserélésével önmagába megy át, tehát a kifejezések azonosak.
Soós András (Balatonfűzfő, Ált. isk. VIII. o. t.) | Megjegyzés. A kifejezéseknek a ciklikus felcseréléssel egymásba való átmenetele magában nem elég az azonossághoz. Ez a tulajdonságuk pl. az , , ,,kifejezéseknek'' is megvan, de nem azonosak. II. megoldás. Az előzők után elég az első kifejezést olyan három szorzat összegévé alakítani, melyek ciklikus felcseréléssel egymásba mennek át. Evégett a harmadik szorzat háromtagújával beszorzunk, ‐ így öt szorzat összege ‐, majd az 1. és 3., valamint 2. és 4. szorzat közös tényezőit kiemeljük:
(Az utolsó lépésben a 3. szorzat két kéttagú tényezőjét ()-gyel szoroztuk.) Az utolsó alaknak megvan a kívánt tulajdonsága, tehát a bizonyítást befejeztük.
Bana Sándor (Szeged, Radnóti M. g. I. o. t.) | III. megoldás. Az I. megoldás észrevétele alapján elég megmutatni, hogy a három kifejezés közül bármelyik kettő különbsége azonosan 0. Tekintsük az első kettő különbségét, pl. a változó polinomjának ( és pedig legyen egyelőre állandó).
legfeljebb 3-adfokú, így 0-val azonos, ha különböző helyen 0-val egyenlő. Legyenek e helyek , , , , ezek általában különbözők. Mármost
A vizsgált különbség hasonlóan akkor is 0-val azonosnak adódik, ha az , vagy változik és a további betűk állandók. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
Rácz László (Budapest, Kossuth L. gépip. t. II. o. t.) |
|