Kezdőlap


Feladat:	664. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bana Sándor , Rácz László , Soós András
Füzet:	1961/október, 71 - 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/december: 664. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Előzetes megjegyzés. Kézenfekvő az a bizonyítás, melyben mindhárom kifejezést polinom alakra hozzuk, és rámutatunk, hogy így tagról tagra megegyeznek. Alább ennél rövidebb megoldásokat mutatunk be.

I. megoldás. Az első és a második kifejezésből úgy kapjuk a következőt, és a harmadikból is az elsőt, hogy minden

a

helyébe

b

-t, minden

b

, ill.

c

helyébe

c

-t, ill.

a

-t írunk, röviden mondva:

a

b

c

-t ciklikusan felcseréljük. Ebből következik, hogy a három kifejezés akkor és csak akkor azonos, ha bármelyikük polinom alakja az említett cserékkel önmagába megy át. Így már elég egyiküket polinommá alakítani: Az elsőből

\begin{matrix} a {(a - c)}^{2} + b {(b - c)}^{2} - (a - c) (b - c) (a + b - c) = (a^{3} + b^{3} + c^{3}) - \\ - (a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a) - (a b^{2} + b c^{2} + c a^{2}) + 3 a b c . \end{matrix}

Itt a jobb oldal

a

b

c

ciklikus felcserélésével önmagába megy át, tehát a kifejezések azonosak.

Soós András (Balatonfűzfő, Ált. isk. VIII. o. t.)

Megjegyzés. A kifejezéseknek a ciklikus felcseréléssel egymásba való átmenetele magában nem elég az azonossághoz. Ez a tulajdonságuk pl. az

a

b

c

,,kifejezéseknek'' is megvan, de nem azonosak.

II. megoldás. Az előzők után elég az első

K

kifejezést olyan három szorzat összegévé alakítani, melyek ciklikus felcseréléssel egymásba mennek át. Evégett a harmadik szorzat háromtagújával beszorzunk, ‐ így

K

öt szorzat összege ‐, majd az 1. és 3., valamint 2. és 4. szorzat közös tényezőit kiemeljük:

\begin{matrix} a {(a - c)}^{2} + b {(b - c)}^{2} - (a - c) (b - c) (a + b - c) = \\ = a {(a - c)}^{2} + b {(b - c)}^{2} - a (a - c) (b - c) - b (b - c) (a - c) + c (a - c) (b - c) = \\ = a (a - c) (a - c - b + c) + b (b - c) (b - c - a + c) + c (a - c) (b - c) = \\ = a (a - b) (a - c) + b (b - c) (b - a) + c (c - a) (c - b) . \end{matrix}

(Az utolsó lépésben a 3. szorzat két kéttagú tényezőjét (

- 1

)-gyel szoroztuk.) Az utolsó alaknak megvan a kívánt tulajdonsága, tehát a bizonyítást befejeztük.

Bana Sándor (Szeged, Radnóti M. g. I. o. t.)

III. megoldás. Az I. megoldás észrevétele alapján elég megmutatni, hogy a három kifejezés közül bármelyik kettő különbsége azonosan 0. Tekintsük az első kettő különbségét, pl. a

c

változó

f (c)

polinomjának (

a

és

b

pedig legyen egyelőre állandó).

\begin{matrix} f (c) = a {(a - c)}^{2} + b {(b - c)}^{2} - (a - c) (b - c) (a + b - c) - b {(b - a)}^{2} - \\ - c {(c - a)}^{2} + (b - a) (c - a) (b + c - a) . \end{matrix}

f (c)

legfeljebb 3-adfokú, így 0-val azonos, ha

3 + 1 = 4

különböző helyen 0-val egyenlő. Legyenek e helyek

c = 0

c = a

c = b

c = a + b

, ezek általában különbözők. Mármost

\begin{matrix} f (0) = [(a^{3} + b^{3}) - a b (a + b)] - [b {(b - a)}^{2} + a {(b - a)}^{2}] = (a + b) (a^{2} - \\ - a b + b^{2} - a b) - (b + a) {(b - a)}^{2} = (a + b) [{(b - a)}^{2} - {(b - a)}^{2}] = 0; \\ f (a) = 0 + b {(b - a)}^{2} - 0 - b {(b - a)}^{2} - 0 + 0 = 0; \\ f (b) = a {(a - b)}^{2} + 0 - 0 - b {(b - a)}^{2} - b {(b - a)}^{2} + {(b - a)}^{2} (2 b - a) = \\ = {(b - a)}^{2} (a - b - b + 2 b - a) = 0; \\ f (a + b) = a {(- b)}^{2} + b {(- a)}^{2} - 0 - b {(b - a)}^{2} - (a + b) b^{2} + 2 (b - a) b^{2} = \\ = b^{2} [a - (a + b) + 2 (b - a)] + b [a^{2} - {(b - a)}^{2}] = \\ = b^{2} (b - 2 a) + b (2 a - b) b = 0. \end{matrix}

A vizsgált különbség hasonlóan akkor is 0-val azonosnak adódik, ha az

a

, vagy

b

változik és a további betűk állandók. Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Rácz László (Budapest, Kossuth L. gépip. t. II. o. t.)