Feladat: 662. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kiss Györgyi ,  Major János ,  Pap Irén 
Füzet: 1961/szeptember, 25 - 26. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/november: 662. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 

Az AOE és AFB háromszögek feltevésnél fogva O-nál, ill. F-nél derékszögűek (utóbbi a Thalész‐tétel folytán), és A-nál levő (hegyes) szögük közös, ezért hasonlók. AOE-ben a befogók aránya szerkesztés folytán 1:2, ezért AF=2BF.
A rövidebb BC, CA, AD ívek egyenlők, tehát BFC=CFA=AFD, tehát FC felezi az AFB szöget, és FA felezi a CFD szöget. Ezért a szögfelező osztásarányára vonatkozó tétel szerint AG:GB=AF:FB=2:1, tehát GB=2r/3, ahol r a kör sugara, és így OG=r-2r/3=r/3=OB/3, az állítás b) részének megfelelően. ‐ Továbbá hasonlóan DE=r/2 és CE=3r/2, és így FD:FC=DE:EC=1:3, tehát FC=3FD.
 

Kiss Györgyi (Gyula, Erkel F. g. I. o. t.)
 

Megjegyzés. A b) és c) részt abból is megkapjuk, hogy F-nek AB-n levő vetületét H-val jelölve egyrészt az AHF, FHB derékszögű háromszögek hasonlók AOE-höz, ezért FH=2BH és AH=2FH=4BH, és ezért AH+HB=2r-ből BH=2r/5, FH=4r/5 és OH=r-2r/5=3r/5. Másrészt a GFH és GCO háromszögek hasonlók, ezért GH:GO=FH:CO=4:5, tehát HG+GO=3r/5-ből GO=5OH/(5+4)=3r/9=r/3.
Továbbá a DFC és GOC közös hegyes szöggel bíró derékszögű háromszögek hasonlóságából FD:FC=OG:OC=(r/3):r=1:3, ami a c) állítást igazolja.
 

Pap Irén (Kiskunfélegyháza, Móra F. g. II. o. t.)
 

2. További hasonló háromszögpárt kapunk a BD húr meghúzásával. Ha ez CF-et J-ben metszi, akkor a BCJFAB, mert JBC=BFA=90 és BCJ=BAF, mert a BF íven nyugvó kerületi szögek. Így BJ=BC/2=BD/2, vagyis CJ a BCD háromszög súlyvonala, tehát G-ben harmadolja a BO súlyvonalat, így OG=OB/3.
 

Major János (Budapest, Kandó K. hir. ip. t. II. o. t.)