A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A bizonyítást arra az esetre végezzük, ha a háromszög belsejében van; más helyzetekben a bizonyítás hasonlóan végezhető.
Az egyenessel együtt a szög , felezőire való tükörképe is átmegy az csúcson (a két tükörkép egybeesik, mert ), ezért először azt kell belátnunk, hogy -nek felező merőlegese átmegy -n. Valóban, a tükrözés folytán , merőlegesen felezi a , szakaszt, tehát a háromszög köré írt kör középpontja , és ezért átmegy -n. ‐ Az , és , valamint és közti szögek egyenlőségéhez elég megmutatni, hogy ugyanakkora szöget alkot -vel, mint az -vel. A és közti szög egyenlő az és közti szöggel, mert megfelelő száraik merőlegesek, a szög pedig a kerületi és középponti szögek tétele szerint fele a szögnek, vagyis egyenlő -vel. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
Böröczky Kálmán (Sopron, Kempelen F. gépip. t. II. o. t.) | Megjegyzések. 1. Az előbbi szögek egyenlőségét így is beláthatjuk: , , (ahol a és metszése) felezi a , , szöget. Így
Raskó János (Szolnok, Verseghy F. g. I. o. t.) | 2. Szigorúan véve a fenti szögegyenlőségek csak akkor bizonyítják az állítást, ha tudjuk, hogy akár -ből, akár , ill. -ből -be, ill. -ba egymással ellentétes irányú forgásokkal jutunk. Evégett az alábbi megoldásban a szögeket forgásoknak tekintjük, irányukat is számon tartjuk, vagyis előjeles szögekkel számolunk. Alapiránynak a szög felezőjét választjuk. Legyen a szög abszolút értéke (tehát ), és legyen a forgási irány az, amellyel -ből -be , -be pedig forgás visz. Legyen továbbá az -ből -ba vivő forgás (vagyis -ból -be forgással jutunk). Ekkor az -ból -be és onnan -be vivő forgás , innen tovább -be ugyancsak . És mivel -nak -re való tükrözését a számításban két egymás utáni, egyenlő nagyságú forgatással fejezhetjük ki, azért az -ból -be vivő forgás . Az alapirányból pedig forgással jutunk -be. Hasonlóan -ból -en át -be forgás visz, -ből -be ugyanennyi, -ből -be pedig . Most már a szög felezőjébe -ből | | forgással jutunk, és ez mutatja, hogy a feladat állítása a forgási irányok figyelembevételével is helyes.
Máté Attila (Szeged, Dózsa Gy. ált. isk. VIII. o. t.) | 3. Az ábrán a oldalt szaggatva rajzoltuk, látható ugyanis, hogy ennek semmi jelentősége nincs. Elég lett volna a szögről beszélni.
|
|